OpenCASCADE 参数曲线曲面面积
eryar@163.com
Abstract. 本文介绍了参数曲面的第一基本公式，并应用曲面的第一基本公式，结合OpenCASCADE中计算多重积分的类，对任意参数曲面的面积进行计算。
Key Words. Parametric Curve, Parametric Surface, Gauss Integration, Global Properties
1.Introduction
我们知道一元函数y=f(x)的图像是一条曲线，二元函数z=f(x,y)的图像是一张曲面。但是，把曲线曲面表示成参数方程则更加便利于研究，这种表示方法首先是由欧洲瑞士数学家Euler引进的。例如，在空间中的一条曲线可以表示为三个一元函数：
X=x(t), Y=y(t), Z=z(t)
在向量的概念出现后，空间中的一条曲线可以自然地表示为一个一元向量函数：
r=r(t)=(x(t), y(t), z(t))
用向量函数来表示曲线和曲面后，使曲线曲面一些量的计算方式比较统一。如曲线可以表示为一元向量函数，曲面可以表示为二元向量函数。
本文结合OpenCASCADE来介绍参数曲线曲面积分分别计算曲线弧长和曲面的面积。结合《微分几何》来更好地理解曲线曲面相关知识。
2.Curve Natural Parametric Equations
设曲线C的参数方程是r=r(t)，命：
则s是该曲线的一个不变量，即它与空间中的坐标系的选择无关，也与该曲线的参数变换无关。前者是因为在笛卡尔直角坐标变换下，切向量的长度|r’(t)|是不变的，故s不变。关于后者可以通过积分的变量的替换来证明，设参数变换是：
并且
因此
根据积分的变量替换公式有：
不变量s的几何意义就是曲线段的弧长。这说明曲线参数t可以是任意的，但选择不同的参数得到的参数方程会有不同，但是曲线段的弧长是不变的。以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程Natural Parametric Equations。
由曲线的参数方程可知，曲线弧长的计算公式为：
几何意义就是在每个微元处的切向量的长度求和。
3.Gauss Integration for Arc Length
曲线弧长的计算就是一元函数的积分。OpenCASCADE中是如何计算任意曲线弧长的呢？直接找到相关的源码列举如下：(在类CPnts_AbscissaPoint中)
// auxiliary functions to compute the length of the derivative
static Standard_Real f3d(const Standard_Real X, const Standard_Address C)
{
gp_Pnt P;
gp_Vec V;
((Adaptor3d_Curve*)C)->D1(X,P,V);
return V.Magnitude();
}
static Standard_Real f2d(const Standard_Real X, const Standard_Address C)
{
gp_Pnt2d P;
gp_Vec2d V;
((Adaptor2d_Curve2d*)C)->D1(X,P,V);
return V.Magnitude();
}
//==================================================================
//function : Length
//purpose : 3d with parameters
//==================================================================
Standard_Real CPnts_AbscissaPoint::Length(const Adaptor3d_Curve& C,
const Standard_Real U1,
const Standard_Real U2)
{
CPnts_MyGaussFunction FG;
//POP pout WNT
CPnts_RealFunction rf = f3d;
FG.Init(rf,(Standard_Address)&C);
// FG.Init(f3d,(Standard_Address)&C);
math_GaussSingleIntegration TheLength(FG, U1, U2, order(C));
if (!TheLength.IsDone()) {
throw Standard_ConstructionError();
}
return Abs(TheLength.Value());
}
//==================================================================
//function : Length
//purpose : 2d with parameters
//==================================================================
Standard_Real CPnts_AbscissaPoint::Length(const Adaptor2d_Curve2d& C,
const Standard_Real U1,
const Standard_Real U2)
{
CPnts_MyGaussFunction FG;
//POP pout WNT
CPnts_RealFunction rf = f2d;
FG.Init(rf,(Standard_Address)&C);
// FG.Init(f2d,(Standard_Address)&C);
math_GaussSingleIntegration TheLength(FG, U1, U2, order(C));
if (!TheLength.IsDone()) {
throw Standard_ConstructionError();
}
return Abs(TheLength.Value());
}