动态规划算法的步骤
1. 刻画一个最优解的结构特征；
2. 递归地定义最优解的值；
3. 计算最优解的值；
4. 利用计算出的信息，构造一个最优解。
钢条切割问题描述
(1)Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。不同的切割方案，收益是不同的，怎么切割才能有最大的收益呢？假设，切割工序本身没有成本支出。 假定出售一段长度为i英寸的钢条的价格为p i （i=1,2,…）。钢条的长度为n英寸。如下给出一个价格表P。
给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表P，求切割钢条方案，使得销售收益 rn 最大。(如果长度为n英寸的钢条的价格p n 足够大，则可能完全不需要切割，出售整条钢条是最好的收益)
(2)简单给出一个例子
考虑n=4的时候。如图所示给出4英寸的钢条可能的切割方案
8种切割方案，根据图中的价格表，可以看书最优策略是方案c(将钢条切割为两段长度为2英寸的钢条--收益为10)
(3)长度为n英寸的钢条共有2 n-1 中不同的切割方案。
如果一个最优解将总长度为n的钢条切割为k段，每段的长度为i ,j（1≤j≤k），则有：n=i 1 +i 2 +…+i k
得到的最大收益为：r n =p i1 +p i2 +…+p ik
(4)对上述价格表样例，我们可以观察出所有最优收益值以及对应的切割方案
r1=1; 切割方案1=1(无切割)
r2=5; 切割方案2=2(无切割)
r3=8; 切割方案3=3(无切割)
r4=10; 切割方案4=2+2
r5=13; 切割方案5 = 2+3
r6=17; 切割方案6=6(无切割)
r7=18; 切割方案7=1+6或者7=2+2+3
r8=22; 切割方案8=2+6
r9=25; 切割方案9=2+6
r10=30; 切割方案10=10(无切割)
(5)对于长度为n（n≥1）的钢条，设r n 是最优切割的收益对最优切割，若其首次切割在位置i，钢条被分成长度为i和n-i的两段，有：r n= r i + r n-i
一般情况，任意切割点j都将钢条分为两段，长度分别为j和n-j，1≤j≤n。令r j 和r n-j 分别是这两段的最优切割收益，则该切割可获得的最好收益是：r’ n = r j + r n-j所以有
钢条切割问题的递归求解过程
(1)钢条从左边切割下长度为i的一段，然后只对右边剩下的长度为n-i的一段继续进行切割（递归求解),这个时候有
(2)自顶向下的递归实现
(3)但是这种算法在n比较大的情况下效率低，因为总是求解相同的子问题，反复的进行自身递归调用。如图是子问题规模为n=4的情况
这棵树显示了n=4 的时候的递归调用过程，每个结点的标号为对应的子问题规模n。这可递归调用数总共有2n-1个叶节点。
钢条切割问题的动态规划求解
对每个子问题只求解一次，并将结果保存下来。不必重新计算。介绍两种方法
(1)带备忘的自顶向下法
按照递归的形式编写，使得子问题的求解只依赖于更小的子问题的解。当需要子问题的解的时候，只需要检查是否已经保存过值。如果已经保存过，就直接使用，否则按照通常的方式计算解。
下面给出算法的伪代码