题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1039D
题目大意给出\(n\)个点的一棵树，然后对于\(k\in[1,n]\)求每次使用一条长度为\(k\)的链覆盖树并且不能重复覆盖点时最大覆盖条数。
\(1\leq n\leq 10^5\)
解题思路先考虑暴力怎么做，因为每条链的价值都是一，显然的一种贪心思想是能合并的就合并（没有让出一条链给另一条链腾空间的必要）。
这样的复杂度是\(O(n)\)的，但是对于每个都要求所以需要优化。
之后考虑上根号分治，对于一个\(k\)的答案显然不会超过\(\frac{n}{k}\)，所以可以当\(k\leq \sqrt n\)的时候暴力做，然后由于答案递增，大于\(\sqrt n\)的\(k\)答案的取值不会超过\(\sqrt n\)，每次二分断点即可。时间复杂度\(O(n\sqrt n\log n)\)。
其实发现这样还是不够快，可以找到一个更好的阈值，设为\(T\)，那么前面的复杂度就是\(T\)，后面的复杂度就是\(\frac{n}{T}\log n\)，用平衡规划的思想当\(T=\frac{n}{T}\log n\)时最快，也就是\(T=\sqrt{n\log n}\)时最快了。
code #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=1e5+10; struct node{ int to,next; }a[N<<1]; int n,tot,cnt,dfn[N],ls[N],fa[N],f[N]; void addl(int x,int y){ a[++tot].to=y; a[tot].next=ls[x]; ls[x]=tot;return; } void dfs(int x){ dfn[++cnt]=x; for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){ int y=a[i].to; if(y==fa[x])continue; fa[y]=x;dfs(y); } return; } int solve(int k){ if(k==1)return n; int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=1; for(int i=n;i>=1;i--){ int x=dfn[i]; if(f[x]&&f[fa[x]]){ if(f[x]+f[fa[x]]>=k) ans++,f[fa[x]]=0; else f[fa[x]]=max(f[fa[x]],f[x]+1); } } return ans; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<n;i++){ int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); addl(x,y);addl(y,x); } dfs(1); int T=sqrt((double)n*(log(n)/log(2))),last,z=T+1; for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",last=solve(i)); while(z<=n){ int l=z+1,r=n,k=solve(z); while(l<=r){ int mid=(l+r)>>1; if(solve(mid)<k)r=mid-1; else l=mid+1; } for(int i=z;i<=r;i++) printf("%d\n",k); z=r+1; } return 0; }