一．特征值分解
1.特征值分解
线性代数中，特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。
设A有n个特征值及特征向量，则：
将上面的写到一起成矩阵形式：
若(x1,x2,...,xn)可逆，则左右两边都求逆，则方阵A可直接通过特征值和特征向量进行唯一的表示，令
Q=(x1,x2,...,xn)
Σ = diag(λ1, λ2, ..., λn)
则 ，该表达式称为方阵的特征值分解，这样方阵A就被特征值和特征向量唯一表示。
Matlab中通过eig函数就可求得特征值和特征向量矩阵。
D对角线的元素即为特征值（表示了伸缩的比例），D就是特征值分解公式中的Q，V的每一列与D没列对应，表示对应的特征向量，即特征值分解中的Σ。
1.分解方法
矩阵的特征分解
令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量
。
这样， A 可以被分解为
其中 Q 是N×N方阵，且其第 i列为 A 的特征向量。 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即
。这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如
不能被对角化，也就不能特征分解。
一般来说，特征向量
一般被正交单位化（但这不是必须的）。未被正交单位化的特征向量组
也可以作为 Q 的列向量。这一事实可以这样理解： Q 中向量的长度都被
抵消了。
通过特征分解求矩阵的逆
若矩阵 A 可被特征分解并特征值中不含零，则矩阵 A 为非奇异矩阵，且其逆矩阵可以由下式给出：
因为 Λ 为对角矩阵，其逆矩阵容易计算出：
对特殊矩阵的特征分解对称矩阵
任意的 N×N 实对称矩阵都有 N 个线性无关的特征向量。并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成
其中 Q 为 正交矩阵， Λ 为实对角矩阵。
正规矩阵
类似地，一个复正规矩阵具有一组正交特征向量基，故正规矩阵可以被分解成
其中 U 为一个酉矩阵。进一步地，若 A 是埃尔米特矩阵，那么对角矩阵 Λ 的对角元全是实数。若 A 还是酉矩阵，则 Λ 的所有对角元在复平面的单位圆上取得。
3.特征值与奇异值的分解
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