正定矩阵和半正定矩阵 (2)

解：设向量

为非零向量，则

因此，矩阵

是正定矩阵。

【定义2】给定一个大小为

的实对称矩阵

，若对于任意长度为

的向量

，有

恒成立，则矩阵

是一个半正定矩阵。

根据正定矩阵和半正定矩阵的定义，我们也会发现：半正定矩阵包括了正定矩阵，与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。

图1 正实数与负实数，图片来源于https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

2. 从二次函数到正定/半正定矩阵

在初中数学中，我们学习了二次函数

，该函数的曲线会经过坐标原点，当参数

时，曲线的“开口”向上，参数

时，曲线的“开口”向下。

以

为例，曲线如下：

图2 二次函数曲线

实际上，我们可以将

视作

的多维表达式。