正定矩阵和半正定矩阵 (4)

日期：2021-10-16 栏目：程序人生浏览：次

$\boldsymbol{y}=I\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]$

向量

$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{2}$

之间的夹角为

$\cos\left\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right/p=\frac{\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}}{||\boldsymbol{x}||\cdot||\boldsymbol{y}||}$

$=\frac{2\times 2+1\times 1}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2}}$

$=1$

即两个向量之间的夹角为0°.

【例4】给定向量

$\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{3}$

，对于实对称矩阵

$A=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{3\times 3}$

，则

$\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array} \right]$

向量

$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{2}$

之间的夹角为

$\cos\left\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right/p=\frac{\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}}{||\boldsymbol{x}||\cdot||\boldsymbol{y}||}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

即两个向量之间的夹角小于

$\frac{\pi}{2}$

若给定任意一个正定矩阵

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

和一个向量

$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$

，则两者相乘得到的向量

$\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$

与向量

$\boldsymbol{x}$

的夹角恒小于或等于

$\frac{\pi}{2}$

. (等价于：

$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}\geq0$

4. 为什么协方差矩阵要是半正定的？

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