正定矩阵和半正定矩阵 (5)

日期：2021-10-16 栏目：程序人生浏览：次

在概率论与数理统计中，我们都学习的协方差矩阵的定义：

对于任意多元随机变量

$\boldsymbol{t}$

，协方差矩阵为

$C=\mathbb{E}\left[(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\right]$

现给定任意一个向量

$\boldsymbol{x}$

，则

$\boldsymbol{x}^TC\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\mathbb{E}\left[(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\right]\boldsymbol{x}$

$=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\boldsymbol{x}\right]$

$=\mathbb{E}(s^2)=\sigma_{s}^2$

其中，

$\sigma_s=\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})=(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\boldsymbol{x}$

由于

$\sigma_s^2\geq0$

，因此，

$\boldsymbol{x}^TC\boldsymbol{x}\geq0$

，协方差矩阵

$C$

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正定矩阵和半正定矩阵 (5)

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