封面是福州的福道，从高处往下看福道上的人在转圈圈。从傅里叶变换后的频域角度来看，我们的生活也是一直在转圈圈，转圈圈也是好事，说明生活有规律，而我们应该思考的是，如何更有效率地转圈圈……哦别误会，我真不是在说内卷（狗头）。
本文会讲到离散傅里叶、实信号、负频率、fftshift、实信号、共轭等概念。
离散傅里叶变换写到了离散傅里叶变换。
公式如上，我发现，只要掌握初中的数学——加减乘除以及三角函数，就可以掌握离散傅里叶变换的运算。
上文中说过：
如果有时域数据如: [1, 2, 3] 的话，
那么代入公式算得频域数据的结果为:
[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]
频域数据，就是时域数据依次代入到离散傅里叶变换公式的结果。
下面是对频域数据第二个复数：-1.5 + 0.86603i的推算过程。如下：
此时N = 3，k = 1，n = [0, 1, 2]代入到上述公式得：
只要懂得计算:
即可得出整个式子的结果。以上式子表达的即为，一个长度为3的线段，一端在坐标原点上，且线段和X轴（实部）的正半轴重叠。然后线段以坐标原点为圆心，顺时针旋转4π/3。该线段在X轴上的投影即为实部，在Y轴上的投影即为虚部。如下(手残字丑预警)：
这里多说一句，如果时域信号也是复数且虚部有值的话，例如[3, 1]，那么上图中，起始位置的[3, 0]改成[3, 1]即可，再做同样的4π/3旋转。
实部：-3 * cos(π/3) = -1.5
虚部：3 * sin(π/3) = 2.59808
即为:
同理可得：
以上相加： 1 + (-1 - i*1.732050) + (-1.5 + i*2.59808) = -1.5 + 0.86603i
至此，我们大约已经掌握了DFT（离散傅里叶变换）。DFT即计算三角函数和数据累加的过程，甚至我们也可以自己实现一个DFT函数。
fftshiftFFT即快速傅里叶变换，一种非常高效的DFT函数实现。
通常做完FFT之后，很多场景下会做fftshift。
fftshift是针对频域的，将FFT直流分量移到频谱中心。fftshift就是对换数据的左右两边置换如：
x=[1 2 3 4]
fftshift(x) -> [3 4 1 2]
用matlab或者octave运行以下代码：
clf; fs=100;N=256; %采样频率和数据点数 n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列 x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号 y1=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换 y2=fftshift(y1); mag1=abs(y1); %求得Fourier变换后的振幅 mag2=abs(y2); f1=n*fs/N; %频率序列 f2=n*fs/N-fs/2; subplot(2,1,1),plot(f1,mag1,'r'); %绘出随频率变化的振幅 xlabel('Freq Hz'); ylabel('Amp');title('plot 1 usual FFT','color','r');grid on; subplot(2,1,2),plot(f2,mag2,'m'); %绘出随频率变化的振幅 xlabel('Freq Hz'); ylabel('Amp');title('plot 2 FFT after fftshift','color','m');grid on;
可以看到fftshift完成了shift的功能，但也暗含了额外的信息。
为什么60Hz可以当做是-40Hz，15Hz可以当做是-85Hz？又或者为什么会有负频率？
为什么频点40和-40有相同的振幅？
接下来就这两点展开讨论。
负频率我们还是以时域数据[1, 2, 3] fft后 --> [6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]，作为例子。
[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i] 中的三个数字分别代表0Hz, 1Hz, 2Hz的频点信息。对它做fftshift则会变成：
[-1.5 - 0.86603i, 6 + 0i, -1.5 + 0.86603i]这分别代表-1Hz，0Hz，1Hz的频点信息。原本的2Hz的也就是-1Hz。
为什么？还是要从离散傅里叶变换的公式说起：
还记得我们求频域数据[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i] 中1Hz的-1.5 + 0.86603i的式子吗？
如果求2Hz的式子是这样的：
即为：
也即为:
以上求2Hz的式子和以下求1Hz的式子再对比一下：
1Hz是顺时针旋转，2Hz是逆时针旋转，旋转的度数是一样的，只是旋转的方向不一样。
所以当N为3时，2Hz即为-1Hz，就是相对1Hz反着旋转。