【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十六课 Ax=b的解、最小二乘法与矩阵

本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~

基本子空间与投影矩阵

上一节课我们已经了解了投影矩阵 projection matrix, P=A(ATA)1AT
结合我们过去学习到的四个基本子空间的内容,对于Pb即b的投影:
- 若b在A的column space 则其投影为其本身b
- 若b垂直于A的column space则其投影为一个点,没有长度,为0

这里写图片描述


这是一张很重要的图片,向量b的投影在A 的column space,error vector的投影在left null space上,我们知道P,可以将b 投影到p,那么一个什么样的投影矩阵把b 投影到了e?因为column space与left null space正交补,所以他们共同组成了整个空间,I 的column space就是整个空间,IP就是把b投影到e的矩阵,它和P有意义的性质。

最小二乘 least square

这里写图片描述


继续上一节课的内容,找到过三个点的直线就是解三个方程,但此方程无解,此时我们要找到最接近的解“最优解”,我们要使得解最优即误差最小,定义误差为Axb=e的模长的平方即Axb2=e2=e21+e22+e23
这里使用平方的原因一是排除开根号带来的非线性运算,一是方便利用偏导数求解最小值。所以这里如果使用偏导数我们也能得到关于最优解的方程,用矩阵的方法求解
Ax^=Pb
得到的方程是一样的,求解即可得出结果
我们脑海中要有两张图:

一个是我们要拟合的直线的那张图,各个点在我们得到的直线上的投影为p,偏差为e。

另一个是之前我们的column space与left null space的图,b向量的投影p向量在column space而e 向量在left null space,二者正交

证明ATA可逆

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