显然， m × n 矩阵 A 的 k 阶子式有
设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D ，且所有r+1 阶子式 如果存在的话 全等于 0 ，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式， r 称为矩阵 A 的秩，记做R(A)=r 。
n × n 的可逆矩阵，秩为 n
可逆矩阵又称满秩矩阵
矩阵的秩等于它行（列 ）向量组的秩
秩与线性方程组的解的关系
对于 n 元线性方程组 Ax=b
无解的充要条件是 R(A)<R(A,b)
有唯一解的充要条件是 R(A)=R(A,b)=n
有无限多解的充要条件是 R(A)=R(A,b)<n
推论：
Ax=0 有非零解的充要条件是 R(A)<n
Ax=b 有解的充要条件是 R(A)=R(A,b)
向量组等价
向量 b 能由向量组 A: a1,a2,...,am 线性表示的充要条件是矩阵 A=(a1,a2,...,am ) 的秩等于矩阵B=(a1,a2,...,am ) 的秩。
设有两个向量组 A:a1,a2,...,am 及 B:b1,b2,...,bn, 若 B 组的向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称两个向量组等价。
系数矩阵
将向量组A和B所构成的矩阵依次记做A=(a1,a2,...,am ) ,B=(b1,b2,...,bn)B组能由A组线性表示，即对每个向量bj，存在k1j,k2j,...,kmj
使得
从而得到系数矩阵K
对C=AB 的重认识
由此可知，若 C=A × B ，则矩阵 C 的列向量能由 A 的列向量线性表示， B 即为这一表示的系数矩阵。
对偶的，若 C=A × B ，则矩阵 C 的行向量能由B的行向量线性表示， A 即为这一表示的系数矩阵
向量组 B: b1,b2,...,bn 能由向量组 A: a1,a2,...,am 线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,...,am ) 的秩等于矩阵
(A,B)=(a1,a2,...,am,b1,b2,...,bn) 的秩，即： R(A)=R(A,B)。
正交阵
若 n 阶矩阵 A 满足 A T A=I ，成 A 为正交矩阵，简称正交阵。
A 是正交阵的充要条件： A 的列 行 向量都是单位向量，且两两正交。
A 是正交阵， x 为向量，则 A x 称作正交变换。
正交变换不改变向量长度
特征值和特征向量
A 是 n 阶矩阵，若数 λ 和 n 维非 0 列向量 x 满足Ax=λx ，那么，数 λ 称为 A 的特征值， x 称为A的对应于特征值 λ 的特征向量。
根据定义，立刻得到 (A-λI)x = 0 ，令关于 λ 的多项式 |A-λI| 为 0 ，方程 |A-λI|=0 的根为 A 的特征值；将根 λ0 带入方程组 (A-λI)x = 0 ，求得到的非零解即 λ0 对应的特征向量。
特征值的性质
设 n 阶矩阵 A=(aij 的特征值为 λ1 ,λ2 ,...λn
则λ1 +λ2 +...+λn =a11 +a22 +…+ann
λ1λ2…λn =|A|
矩阵 A 主行列式的元素和，称作矩阵 A 的迹。
已知 λ 是方阵 A 的特征值，则λ2 是 A2 的特征值，A 可逆时，λ1 是 A1 的特征值。
不同特征值对应的特征向量
设 λ1,λ2,...,λm 是方阵 A 的 m 个特征值，p1,p2,...,pm 是依次与之对应的特征向量，若 λ1,λ2,...,λm 各不相等，则p1,p2,...,pm 线性无关。
引理
实对称阵的特征值是实数
设复数λ为对称阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即Ax=λx(x≠0)
用