利用上述结论很快得到：
将实数 λ 带入方程组 (A-λI)x=0 ，该方程组为实系数方程组，因此， 实对称阵 的特征向量可以取 实向量 。
实对称阵不同特征值的特征向量正交
令实对称矩阵为 A ，其两个不同的特征值 λ1λ2对应的特征向量分别是 μ1μ2；
λ1λ2μ1μ2都是实数或是实向量。
最终结论：设 A 为 n 阶 对称阵 ，则必有 正交阵 P ，使得P-1AP=PTAP=Λ
Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
该变换称为“合同变换”， A 和 Λ 互为合同矩阵。
白化/漂白whitening
计算观测数据x的n×n的对称阵x.xT的特征值和特征向量，用特征值形成对角阵D，特征向量形成正交阵U，则
x.xT=UTDU
令：
则：
正定阵
对于 n 阶方阵 A ，若任意 n 阶向量 x ，都有xTAx>0 ，则称 A 是正定阵。
若条件变成 xTAx≥0 ，则 A 称作半正定阵
类似还有负定阵，半负定阵。
正定阵的判定:
对称阵A为正定阵；
A的特征值都为正；
A的顺序主子式大于0；
以上三个命题等价。
利用定义证明:
若A、B为n阶半正定阵，则
从而，
即：
QR分解
对于m×n的列满秩矩阵A，必有：
其中QT·Q=I， (即列正交矩阵)，R为非奇异上三角矩阵。当要求R的对角线元素为正时，该分解唯一。
该分解为QR分解。可用于求解矩阵A的特征值、A的逆等问题。
QR分解计算特征值
计算 n 阶方阵 A 的特征值：
向量的导数
A为m×n的矩阵， x为n×1的列向量，则Ax为m×1的列向量，记:
推导:
结论与直接推广:
向量偏导公式：
标量对向量的导数
A为n×n的矩阵， x为n×1的列向量，