这里S(X)=b(X)d(X)，Xi是1~n之间的某个正整数，它表示在第i天晚上，被（首先）攻破的那个“元诱因”的编号，所以，X1、X2、…、Xm是独立同分布的随机变量，设该分布是p(x)，于是有如下定理：
定理1若每天晚上黑客都将其全部资金按比例b=(b1,b2,…,bn)分配，来对系统的各“元诱因”进行攻击，那么，m天之后，黑客的资产就变为：
这里称为“双倍率”。
证明：由于独立随机变量的函数也是独立的，所以，也是独立同分布的，由弱大数定律，可得：
于是，证毕。
由于黑客的资产按照2mw(b,p)的方式增长（这也是把W(b,p)称为“双倍率”的根据），因此，只需要寻找某种资金分配战术b=(b1,b2,…,bn)，使得双倍率W(b,p)最大即可。
定义1如果某种战术分配b，使得双倍率W(b,p)达到最大值W*(p)，那么，就称该值为最优双倍率，即：
这里的最大值max是针对所有可能的满足而取的。
双倍率W(b,p)作为b的函数，在约束条件∑ni=1bi=1下，求其最大值。可以写出如下拉格朗日乘子函数并且改变对数的基底（这不影响最大化b），则有：
关于bi求导得到：
为了求得最大值，令偏导数为0，从而得出：
将它们带入约束条件可得到λ=-1和bi=pi。从而可知，b=p为函数J(b)的驻点。
定理2最优化双倍率
证明：将双倍率W(b,p)重新改写，使得容易看出何时取最大值：
这里D(p|b)是随机变量p和b的相对熵［7］。而当b=p时，可直接验证上述等式成立。证毕。