$\begin{array}{l}& \int_{0}^{2 \pi} \cos n x \cos m x \mathrm{~d} x \\=& \int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos (n+m) x+\cos (n-m) x}{2} \mathrm{~d} x \\=& \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n+m) x}{n+m}+\frac{\sin (n-m) x}{n-m}\right]_{0}^{2 \pi} \\=& 0\end{array}$
2.2 傅里叶级数的直观理解 2.2.1 矩形波的分解以一个周期矩形波为例，难以想象的是这个矩形波是可以被傅里叶级数分解的。下图中展示了多个正弦函数如何逐步组合成为一个矩形波，随着震荡函数的增加，它们最终就可以组成一个矩形波：
注意这里只有正弦函数而没有余弦函数。我们之前说任意周期函数都可以由正弦和余弦函数累加而组成，而事实上我们只需要有相位的正弦函数就可以组成任意的周期函数了。下图也同样展示了这些有相位的正弦波组合成矩形波的过程：
这里的正弦波之间还有一些直线，这些直线其实也是正弦波，只不过振幅为 $0$ ，这说明组成一个周期函数时，可能一些成分是不需要的。
2.2.2 频谱上面的图立体地展示了正弦波组合成周期函数的过程，如果我们从侧面来看这个立体图，也就得到了所谓的频谱（Spectrum）：
即：以这些正弦波的频率做横轴，振幅做竖轴得到图像：
重新审视一个周期函数的立体分解图——>从正面来看是时域（Time Domain）的图像，从侧面就是频域（Frequency Domain）图像：
频谱记录了正弦波的频率和振幅，但没有记录相位信息。
这里以频率为横轴，相位为纵轴构建一个相位谱（phase spectrum）：
利用频谱和相位谱就可以记录所有的组成一个周期函数的正弦函数了。
集合图：
现在解释下面式子（傅里叶级数）的由来：
$f(t)=a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]$
利用带有相位的正弦函数可以组合成任意的周期函数，此时基频率还是 $\omega=\frac{2 \pi}{T} $， 该过程用公式表示为:
$f(t)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)$
利用和角公式进行一些变换: