$\begin{array}{l}f(t)&=a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}+b_{n} \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2 i}\right] \\&=a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}-i b_{n}}{2}\right) e^{i n \omega t}+\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}+i b_{n}}{2}\right) e^{-i n \omega t} \\&=\sum \limits_{n=0}^{0} a_{n} e^{i n \omega t}+\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}-i b_{n}}{2}\right) e^{i n \omega t}+\sum \limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\frac{a_{-n}+i b_{-n}}{2}\right) e^{i n \omega t} \\&=\sum \limits_{-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{i n \omega t}\end{array}$
其中：
$\begin{array}{l}\text { 当 } n=0 \text { 时 }, c_{n}=a_{0} \\\text { 当 } n=1,2,3, \cdots \text { 时, } c_{n}=\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} \\\text { 当 } n=-1,-2,-3, \cdots \text { 时, } c_{n}=\frac{a_{-n}+i b_{-n}}{2}\end{array}$
上一小节求得系数 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ ，现在将这些系数代入经过欧拉公式变换后的傅里叶级数。
首先，当 $n=0$ 时:
$\begin{array}{l}c_{n}=a_{0} \\=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t \\=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i 0 \omega t} \mathrm{~d} t\end{array}$
当 $n=1,2,3, \cdots$ 时:
$\begin{array}{l}c_{n}&=\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} \\&=\frac{\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t-i \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin (n \omega t) \mathrm{d} t}{2} \\&=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)[\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)] \mathrm{d} t \\&=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t\end{array}$
可见对于任意的 $n$ ，所有的 $c_{n}$ 的表达式都是一样的。
总结一下，傅里叶级数最终可以写为:
$f(t)=\sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{i n \omega t}$
其中
$ c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t$
上面的式子说明，任意一个周期为 $T$ 的周期函数，都可以使用一组 $c_{n}$ 来表示它。也就 是说，在时域内 $(t, f(t))$ 可以唯一地确定函数 $f(t)$ ，而在频域内，函数 $f(t)$ 由 $\left(n, c_{n}\right)$ 来唯一确定，这就是从时域到频域的转换，如下图：
上图右边纵轴 $c_{n}$ 其实是个复数，可以理解为应该有两个维度，一个实部，一个虚部，但是这 里为了简单画图，就把它画成了实数，但其实它是个复数。
三、傅里叶变换傅里叶变换针对非周期函数，一个非周期函数可以看做周期无限大的函数。
同样的以 $\boldsymbol{\omega}$ 作为基频率，满足 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ ，当 $T \rightarrow+\infty$ 时， $ \omega \rightarrow 0 $ ，又有 $\omega=(n+1) \omega-n \omega=\Delta \omega $ ，因此 $\Delta \omega \rightarrow 0$ 。
在这里我们将 $c_{n}$ 写作从 $-\frac{T}{2}$ 到 $\frac{T}{2} $ 的积分:
$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t$
那么对于非周期函数 $f(t)$ 来说有：
$\begin{array}{l}f(t)&=\underset{T \rightarrow+\infty}{lim} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{i n \omega t} \\&=\underset{T \rightarrow+\infty}{lim} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t \cdot e^{i n \omega t} \\&=\underset{\Delta \omega \rightarrow 0}{lim} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t \cdot e^{i n \omega t}\end{array}$
从下图中可以看做，当 $\Delta \omega \rightarrow 0$ 时，虽然 $n$ 为离散的量，但是 $n \omega$ 会变成一个连续的量:
注意 $\Delta \omega=\omega$ ，另外我们令 $ W=n \omega$ ，那么我们有: