$\begin{array}{l}&f(t)=\sum\limits _{n=0}^{+\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right) \\&=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} A_{n}\left[\sin (n \omega t) \cos \left(\varphi_{n}\right)+\cos (n \omega t) \sin \left(\varphi_{n}\right)\right] \\&=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left[A_{n} \cos \left(\varphi_{n}\right) \sin (n \omega t)+A_{n} \sin \left(\varphi_{n}\right) \cos (n \omega t)\right] \\&=A_{0} \cos \left(\varphi_{0}\right) \underbrace{\sin (0 \omega t)}_{=0}+\underbrace{A_{0} \sin \left(\varphi_{0}\right)}_{\text {记作 } a_{0}} \underbrace{\cos (0 \omega t)}_{=1}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}[\underbrace{A_{n} \cos \left(\varphi_{n}\right)}_{\text {记作 } b_{n}} \sin (n \omega t)+\underbrace{A_{n} \sin \left(\varphi_{n}\right)}_{\text {记作 } a_{n}} \cos (n \omega t)] \\&=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]\end{array}$
最终得到了上述傅里叶级数。
2.2.4 求解傅里叶级数的系数对于一个周期函数 $f(t)$ ，如何求它分解为傅里叶级数后的系数 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ 呢?
同样类比笛卡尔坐标系，一个坐标点与一个基向量做内积就可以得到这个坐标点在这个基向量上的系数， 那么一个周期函数只需要与一个基函数做积分，也就可以得到对应的系数。
首先求 $a_{0}$ ( $a_{0} $ 对应的基函数为 $\cos (0 t) $ ）:
$\begin{array}{l}\int_{0}^{T} f(t) \cos (0 t) \mathrm{d} t&=\int_{0}^{T}\left(a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]\right) \cos (0 t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{0} \cos (0 t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{T} \sum \limits_{n=1}^{+\infty}[a_{n} \underbrace{\cos (n \omega t) \cos (0 t)}_{\text {积分 } 0}+b_{n} \underbrace{\sin (n \omega t) \cos (0 t)}_{\text {积分为 } 0}] \mathrm{d} t \\&=a_{0} T\end{array}$
即：
$a_{0}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$
然后求 $ a_{n}$ ，对应的基函数为 $\cos (n \omega t)$ :
$\begin{array}{l}&\int_{0}^{T} f(t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t\\&=\int_{0}^{T}\left(a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]\right) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{0} \cos (n \omega t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{T} \sum \limits_{n=1}^{+\infty} a_{n} \cos (n \omega t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{T} \sum \limits_{n=1}^{+\infty} b_{n} \sin (n \omega t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{n} \cos (n \omega t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{n} \cos ^{2}(n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{n} \frac{1+\cos (2 n \omega t)}{2} \mathrm{~d} t \\&=a_{n} \frac{T}{2}\end{array}$
即：
$a_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t$
最后用类似的方法求得 $b_{n}$:
$b_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin (n \omega t) \mathrm{d} t$
2.2.5 欧拉公式与傅里叶级数首先有欧拉公式如下：
$e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)$
复变函数中，$e^{(ix)}=(cos x+isin x)$ 称为欧拉公式，$e$ 是自然对数的底，$i$ 是虚数单位。
可以简单的将欧拉公式理解为复数的另一种表示形式， $e^{i \theta} $ 看做复数。
为简化傅里叶级数的表达形式，需要用到欧拉公式。
当 $\theta=n \omega t $ 以及 $ \theta=-n \omega t $ 时，根据欧拉公式有:
$\begin{array}{l}e^{i n \omega t}=\cos (n \omega t)+i \sin (n \omega t) \\e^{-i n \omega t}=\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)\end{array}$
那么：
$\begin{aligned}\cos (n \omega t) &=\frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2} \\\sin (n \omega t) &=\frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2 i}\end{aligned}$
将这两项代入傅里叶级数，并进行整理：