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论文解读GCN 1st《 Deep Embedding for CUnsupervisedlustering Analysis》
一、从简单变换到傅里叶级数如下图所示，在笛卡尔坐标系中，定义一组基 $e_{x}=(1,0), e_{y}=(0,1)$ ，因此坐标系中的所有点能被一个坐标唯一地表示:
好处：有坐标以后，点与点之间不再是相互孤立的存在，也就有了距离的关系。这种简单的变换将空间中的点使用一组基来表示，点是基的加权累加。
类比到函数中，对于一个函数，期待使用一组基函数来表示。傅里叶级数与傅里叶变换就是用来解决这个问题的办法，其中傅里叶级数能够将任意周期函数表示成一组基函数依照各自的系数的累加，而傅里叶变换针对的是非周期函数。
首先描述傅里叶级数，它可以将任意周期函数分解为简单震荡函数（正弦函数和余弦函数等基函数) 的加和。具体地，对于周期为 $T$ 的周期函数 $f(t) $，可以分解为三角函数的组合:
$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]$
其中 $w=\frac{2 \pi}{T}$ ，称为基频率。类比笛卡尔坐标系， $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ 就相当于坐标，而 $1$, $\cos (n \omega t)$, $\sin (n \omega t) $ 就相当于基向量。不同的是， $1, \cos (n \omega t), \sin (n \omega t) $ 是一组函 数，而基向量是一组向量，笛卡尔坐标系使用基向量来表示点，傅里叶级数使用基函数来表示周期函数。
二、傅里叶级数 2.1 三角函数系一个三角函数系为：
$\{1, \sin (\omega x), \cos (\omega x), \sin (2 \omega x), \cos (2 \omega x), \cdots, \sin (n \omega x), \cos (n \omega x), \cdots\}$
注意： $1$ 也可以看做一个函数，其实也就是 $\cos (0 \omega x)$ ，由于 $\sin (0 \omega x)=0$ ，所以不考虑。
这里的 $ \omega$ 也就是上面提到的基频率，可以看到这个基频率的大小由要分解的函数 $f(t) $ 的周期 $T$ 决定的，也就是说使用傅里叶级数分解周期函数时不同周期的函数要使用不同的三角函数系来作为基函数。
在笛卡尔坐标系中，基向量满足的性质是不同的基向量之间两两正交（内积为 0 ），相同的基向量内积为 1 。假设两个基向量 $v$ 和 $ m$ ，则他们的内积就是对应的维度相乘之后的累加：
$v \cdot m=v_{1} m_{1}+v_{2} m_{2}+\cdots+v_{n} m_{n}=0$
傅里叶级数的基函数之间也有类似的性质，基向量之间的内积是以累加的方式计算的，类似 的，基函数之间的内积是以积分的形式计算的。同样类似的，不同基函数之间的内积为 $0$ ， 同一基函数的内积为一个正数。
知识点补充：
傅里叶级数的基础是三角函函数系 $1, \sin x, \cos x, \sin 2 x, \cos 2 x, \ldots, \sin n x, \cos n x$ 的正交性。正交是对于线性无关的抽象概念，类比向量正交即为内积等于零的概念，函数的正交同样采用内积等于零来判断。
现定义两个实函数：$f(x), g(x)$ 的内积。若 $f(x), g(x)$ 在闭区间 $[a, b] $上可积且平方可积，则它们的内积：
$<f, g>=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$
在$[0,2 \pi] $ 上，三角函数系是两两正交的，它们满足如下性质：
$(1) \int_{0}^{2 \pi} \sin n x \mathrm{~d} x=0\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$
$(2) \int_{0}^{2 \pi} \cos n x \mathrm{~d} x=0\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right) $
$(3) \int_{0}^{2 \pi} \sin n x \cos m x \mathrm{~d} x=0\left(n \neq m, n \in \mathbb{N}^{*}, m \in \mathbb{N}^{*}\right) $
$(4) \int_{0}^{2 \pi} \sin n x \sin m x \mathrm{~d} x=0\left(n \neq m, n \in \mathbb{N}^{*}, m \in \mathbb{N}^{*}\right) $
$(5) \int_{0}^{2 \pi} \cos n x \cos m x \mathrm{~d} x=0\left(n \neq m, n \in \mathbb{N}^{*}, m \in \mathbb{N}^{*}\right)$
前两个式子显然成立，后三个式子的推导主要是利用积化和差公式，在这里给出最后一个式子的推导过程。