在实际问题中，对于某些随机试验的结果，需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述，例如，为了研究某一个地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽样，对于每个儿童都能观察到身高（H）和体重（W），因此，设样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童}，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。
设E是一个随机试验，样本空间是S={e}，设X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，把(X,Y)叫做二维随机变量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅跟X和Y有关，而且还依赖于这俩那哥哥随机变量的相互关系。因此，逐个地研究X和Y的性质是不够的，还需要将(X,Y)看作一个整体来进行。
定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：
F(x)=P{X<=x 且 Y<=y}=P{X<=x, Y<=y}
称作二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
如果把二维随机变量(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，那么容易计算出随机点(X,Y)落在举行区域{(x,y) | x1<x<=x2, y1<y<=y2}的概率为：
P{x1 < X <=x2, y1<Y<=y2}=F(x2,y2) + F(x1+y1) - F(x2,y1) - F(x1,y2)
定义 设F(x,y)和Fx(x,y)，Fy(x,y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数以及边缘分布函数，若对于所有x,y，有
P{X<=x, Y<=y}=P{X<=x} P{Y<=x}， 即F(x,y)=Fx(x,y) Fy(x,y) ，
则称随机变量X和Y是相互独立的。把二维随机变量推广到n维随机变量(X1,X2,...,Xn)，得到n维随机变量的分布函数定义为：
F(x1,x2,...,xn)=P{X1<=x1,X2<=x2,...,Xn<=xn}，其中 x1,x2,...,xn为任意实数。
如果X1,X2,...Xn是相互独立的，那么
F(x1,x2,...,xn)=Fx1(x1) Fx2(x2) ... Fxn(xn)
定理：设(X1,X2,...,Xm)和(Y1,Y2,...,Yn)相互独立，则Xi(i=1,2,...,m)和Yj(j=1,2,...,n)相互独立，如果h,g是连续函数，则h(X1,X2,...,Xm)和g(Y1,Y2,...,Yn)相互独立。
八，随机变量的函数的分布设X，Y相互独立，且X和Y都服从正态分布，那么随机变量Z=X+Y也服从正态分布。
这个结论还能推广到n个独立的服从正态分布的随机变量之和的情况，
即，若Xi(i=1,2,...,n)相互独立，且服从正态分布，那么Z=X1+X2+...+Xn 仍然服从正态分布。
一般，有限个相互独立的，且服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
九，大数定律大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。
1，弱大数定律（辛钦大数定理）
设随机变量X1,X2,...,Xnx相互独立，服从同一个分布，且具有相同的数学期望μ，则序列的期望：
以概率收敛于μ，也就是说，随着n的增大，
白话：一个团的军人的平均身高是a，n个团的军人的平均身高近似等于a。
2，伯努利大数定理
当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
白话：如果一个团的军人数量足够多，那么这个团的军人的平均身高是稳定的。
3，切比雪夫大数定理
随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
白话：如果一个团的军人数量足够多，那这个团的军人平均身高可以代表整个军队的军人的平均身高。
十，中心极限定理中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数不断增加时，其和的分布趋于正态分布。通俗地说，如果一个事件受到N（N趋近于无穷）个独立因素的共同影响，且每个因素产生的影响都是独立的，那么这个事件发生的概率就服从中心极限定理，收敛于正态分布。因此，在实际应用中，正态分布是非常重要的，只要影响因素足够多，每个因素的作用都很微小，不必考虑每个因素服从什么分布，都可以用正态分布来预测事件发生的概率。
1，独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，服从同一分布，并且具有有限的数学期望和方差：E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2 >0 (k=1,2....)，