在一些随机试验中，结果可以用数值来表示，此时样本空间S的元素是数字；但是，有些试验，当样本空间S的元素不是数字时，就需要引入随机变量的概念了。
设S是样本空间，把随机试验的每一个结果，即把S的每个元素e与实数对应起来，从而便于对S进行描述和研究。
一，随机变量定义 设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称X=X(e)为随机变量。
（1），有许多随机试验，结果本身是一个数，即样本点e本身是一个数，令X=X(e)=e，那么X就是一个随机变量。
（2），把一枚硬币抛掷三次，把出现正面记作A，把出现反面记作B，那么样本空间S={e}={AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB}，
设随机变量X是出现正面的次数，那么随机变量X=X(e)={0，1，2，3}，
由此，可以计算出：随机变量X=2发生的的概率是 P{X=2}=P{AAB, ABA, BAA}=3/8。
因为随机变量是元素的单值函数，所以随机变量对应样本空间的一个或多个元素。
如何计算随机变量的概率，下文给出了三种方式：
分布律：适用于离散型随机变量
分布函数：适用于离散型随机变量和连续型随机变量
概率密度函数：适用于连续型随机变量
注意：连续型随机变量取任意指定的实数值的概率都等于0，即P{X=a} =0，但是，概率为0并不意味着，{X=a}是不可能事件，只是事件{X=a}发生的概率非常小，小到几乎不可能发生。
二，离散型随机变量有些随机变量，它全部可能取到的值是有限多个或可列无线多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，只需要直到X的所有可能取值，以及取每一个可能值得概率。
设离散型随机变量X所有可能取值为xk(k=1,2,...)，X取各个可能值得概率，即事件{X=xk}的概率为：
P{X=xk}=pk，k=1，2，...
离散型随机变量常用的分布规律是：0-1分布律，二项分布率，泊松分布律，读者需要知道分布律的特性。
1，0-1分布律
对于一个随机变量，如果样本空间只包含两个元素，即S={e1，e2}，可以定义随机变量X来描述随机试验的结果：
随机变量X只可能取值0和1两个值，分布律是：
P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1 (0<p<1)
2，二项分布律
设试验E只有两个可能结果A和B，设P(A)=p( 0<p<1)，此时P(B)=1-p，把试验E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验服从二项分布律：
随机变量X只可能取值0和1两个值，把分布律是：
对于固定的n和p，二项分布b(n,p)的概率分布是：当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加，直至达到最大值，随后单调减少。
3，泊松分布律
设随机变量X所有可能取得值是0，1，2，...，而取各个值得概率是：
其中参数λ>0，是常数，泊松分布的参数λ是单位时间内随机事件平均发生的次数。泊松分布的图形大概是
可以看到，泊松分布的特点是概率先随着k值的增加而增加，再达到顶点后，随着k值的增加而减少。
泊松分布和二项分布得图形很相似，实际上，可以使用泊松分布来逼近二项分布：
设λ>0 是常数，n是任意正整数，设np=λ，以n，p为参数得二项分布得概率值，可以有参数为λ=np得泊松分布概率值近似，可以用作二项分布概率的近似计算。
三，随机变量的分布函数为了研究随机变量取值落在一个区间(x1, x2]的概率： P{x1<X<=x2}
引入随机变量的分布函数：
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x)=P{X<=x}
称作X的分布函数，对于任意实数x1,x2 (x1<x2)，如何计算随机变量X落在区间(x1, x2]的概率？
P{x1<X<=x2}=P{X<=x2}-P{x<=x1}=F(x2)-F(x1)
因此，如果已知X的分布函数，就知道X落在任一区间(x1, x2]的概率，从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。