如果\(x\)取遍所有可能的值时,积分\(\mbox{(\ref{e4})}\)都有限,那么称这个积分为第一类Abel积分.例如,积分
\[\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^4}}\] 就是第一类Abel积分.
如果当积分\(\mbox{(\ref{e4})}\)的上限取某些值,如取 \[a_1,a_2,\cdots,a_k\]
时,积分的值为无穷大,并且该积分还可在任意一个\(x=a_i\)的邻域内展开为关于\(x-a_i\)的幂级数,这样的幂级数中仅有有限个负指数项,那么称这个积分是第二类Abel积分.例如,积分
\[\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{(1-t^2)^\frac{3}{2}}=-1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
就是一个第二类Abel积分.特别地,如果一个第二类Abel积分仅有一个使其值为无穷大的点(即\(k=1\)),那么称其为基本的第二类Abel积分.例如,积分
\[\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t)^3}}=2(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-1)\]
是一个基本的第二类Abel积分.
如果积分\(\mbox{(\ref{e4})}\)具有对数奇点,则称其为第三类Abel积分.例如,积分
\[\int_0^x\frac{t\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\]
在\(x=\pm i,x=\infty\)时有对数奇点,故其是第三类Abel积分.特别的,如果一个第三类Abel积分只具有两个对数奇点,则称其为一个基本的第三类Abel积分.(可以证明,对于第三类Abel积分,其至少有两个对数奇点.)
下面的一个定理说明了这一分类方法的意义:
定理1. 每一个Abel积分,一定能够用有限个第一类Abel 积分,有限个基本的第二类Abel积分和有限个基本的第三类Abel 积分来线性地表示.
此处我们不打算证明这个定理.
3 有理函数体及其扩张变量\(x,y,\cdots\)的一切有理函数的全体,称为关于\(x,y,\cdots\)的有理函数体(简称体),并记作
\[k(x,y,\cdots).\]
如果元素\(z(x,y,\cdots)\)不属于\(k(x,y,\cdots)\),那么系数取自\(k(x,y,\cdots)\)
的一切关于\(z\)的有理函数的全体,就称为体\(k(x,y,\cdots)\)关于\(z\)的一个代数扩张,并用
\[k(x,y,\cdots;z)\]
来表示.这样所得到的体,又可以添加新的元素进行代数扩张.一个代数扩张可简称为一个扩张.
另外,我们称一个扩张\(k(x,y,\cdots;z)\)是简单代数的,如果\(z\)满足如下的不可约方程
\[f(z)=A_0z^n+A_1z^{n-1}+\cdots+A_{n-1}z+A_n=0,\]
其中\(f(z)\)是不可约的(即不能表示为\(f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z)\)的形式),\(A_i\)属于\(k(x,y,\cdots)\)且不全为零.
在代数函数论中可以证明:
定理2. 体\(k(x,y,\cdots)\)的任何有限的代数扩张\(k(x,y,\cdots;z_1,z_2,\cdots,z_m)\)一定是单纯扩张.也就是说,对体\(k(x,y,\cdots)\)添加不可约方程
\[\begin{cases}
f_1(z)&=0 \\
f_2(z)&=0 \\
\cdots \\
f_m(z)&=0
\end{cases}\]
的根\(z_1,z_2,\cdots,z_m\),总是可以等价于添加一个不可约方程
\[f(z)=0\]
的所有根,该方程的根即为\(z_1,z_2,\cdots,z_m\).
我们只用一个初等的例子来验证这个定理.设对体\(k(x)\)添加元素\(\sqrt{x},\sqrt{1+x}\)进行扩张得到\(k(x;\sqrt{x},\sqrt{1+x})\).而\(\sqrt{x},\sqrt{1+x}\)是不可约方程
\begin{equation}\label{x1}
\begin{cases}
z^2-x&=0\
z^2-(x+1)&=0
\end{cases}\end{equation} 的根.又由于有关系式
\[\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\] 成立,那么只要令
\[u=\sqrt{x}+\sqrt{1+x},\] 就可以算得 \[\begin{cases}
\sqrt{x+1}&=\frac{1}{2}(u+\frac{1}{u}),\\
\sqrt{x}&=\frac{1}{2}(u-\frac{1}{u}).
\end{cases}\] 另外,很容易验证\(u\)是不可约方程 \begin{equation}\label{x2}
u^4-2(1+2x)u^2+1=0\end{equation}
的根,故通过以上的步骤我们就将原来用两个不可约方程\(\mbox{(\ref{x1})}\)的根表示的扩张,化归为一个不可约方程\(\mbox{(\ref{x2})}\)的根表示的扩张.
Liouville证明了下面一个命题的正确性