原文到此戛然而止.需要说明的是,这些函数的有理性,是由于等式\(\mbox{(\ref{y1})}\)中的各个线性无关项,都被表示成了关于\(x,y\)的有理函数或有理函数的对数函数,从而确认了表达式中的各项,不是有理函数就是有理函数的对数函数.这里似乎隐含的运用了下面还没证明的定理5的内容(也就是说运用Liouville定理获得的展开式中,各项\(\omega_i(x)\)的有理性不因为展开式的调整而有所改变),我个人认为如此,也向读者请教是否有更好的理解方法.―编者注
原文未显性写出这个等式及其代入关系,为了便于读者理解,补充于此.―编者注
每一次操作都减少了函数的数量,而当\(k=1\)时等式\(\mbox{(\ref{e15})}\)一定不能成立,故总是可以通过有限次操作实现这一目的.―编者注
唠叨一句,如果对此有疑问,不妨看一下第一页脚注中关于代数函数的定义里那个不可约方程.从另一个粗略的角度说,如果把代数函数理解为包含根式的有理函数,那么只要知道其有最高次项便不难理解这个式子.―编者注
由对数项的系数不为0知\(x_0=0\)的确是这个Abel积分的对数奇点.―编者注
原文无本句话,编者结合实际情况添上了.―编者注
参见第一节初等函数的定义即可理会这一点.―编者注
此处依据的是复变函数论中的Liouville定理(注意不是本文中的那一个):有界的整函数必是常函数.而有理函数均是整函数.
絮叨一句,正是那三者中的两者\(p,\frac{m+1}{n}\)不为整数保证了小数部分总是非零的.―编者注
\(r+s=1\)的情况要除外,因为\(r+s=1-(p+\frac{m+1}{n})\),而\(p+\frac{m+1}{n}\)已假定为整数.
把\((x+1)^{-s}\)展开再逐项积分即可.―编者注
显而易见积分\(\mbox{(\ref{f2})}\)在\(x\rightarrow\infty\)时是发散的(\(r+s>1\)),再加上有\(\mbox{(\ref{f4})}\)有界成立,说明无穷远点是该积分的极点而非对数奇点,因此可知其是第二类Abel积分.原文未完全表清,为方便读者理解,絮叨几句.―编者注