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这里分享的是一个有关积分的初等可积性的切比雪夫定理的证明过程，其中包含了对初等函数的定义、对阿贝尔积分的一些初步探讨、刘维尔的一个初等可积判断定理和最终切比雪夫关于二项微分式积分初等可积性的定理。
切比雪夫定理：设\[\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm{d}x\]为一个二项微分式积分，其中\(p,m,n\)均为有理数，则其可表示为初等函数的充要条件是\(p,\frac{m+1}{n},\frac{m+1}{n}+p\)中至少一个为整数。
这篇文章来自前苏联盖·伊·德林费尔特所著的《普通数学分析教程补篇》第六章，原书的中译本出版于1960年，后来一直未尝再版。（网上可下载到电子书）
积分的初等可积性是分析内容中一个比较古典的课题，不过随着一些现代元素的引入（例如微分代数之类的）而又发出新的光芒。可能由于这些方面的古典问题较早就已经探讨清楚了（该解决的都解决了，没解决的也知道只能解决到哪一个程度，比如说已经知道不存在有效判别一个积分是否初等可积的方法，但是对一些特定类型的积分已经研究的比较透彻），国内目前几乎找不到有关于这一问题的比较初等的书籍（至多只能找到从现代观点出发的那种，普通的数学爱好者根本无法阅读）。
我是在做谢惠民的数学分析习题时看到书中提到这一本书，去阅读过后感到原书的翻译非常晦涩（我个人认为原书的翻译水平实在让一般人无法接受），因而前段时间花了一些功夫，反复阅读这一章节几次，基本上理解清楚了相关内容。我个人认为这是目前国内能找到的仅有的一份可供低年级大学生或非数学专业学生阅读理解的关于初等可积性理论的文章，因而认为其颇有一些价值，故自己把原文重述一遍（读者可点此下载原版书籍与我的调整版本做对比，便知原来的翻译的确有许多不可取之处），并加上一些必要的注解，方便读者阅读体会。
另外，我对其中的某些证明过程之理解可能存在偏差，恳请读者指出并联系我改正，本人将十分感激。希望此文可对读者的数学知识提扩展有一定帮助，也希望这一内容能给读者带来乐趣。
欢迎分享这份文档。\(\LaTeX\)源码一并附上（虽然其实没用什么很复杂的代码）。
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正文这一章，我们将遵循N.G.Chebotarev（契巴塔廖夫）的方法,证明关于形如
\begin{equation}
\int R(x,y)\mathrm{d}x\label{e1}
\end{equation} 的积分的某些古典定理,式中\(y=y(x)\)为 代数函数 ,\(R\)是关于\(x,y\)的有理函数.
型\(\mbox{(\ref{e1})}\)的积分叫做Abel积分.特别,形如
\begin{equation}\label{e2}\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\mathrm{d}x,\end{equation}
\begin{equation}\label{e3}\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm{d}x\end{equation}
的积分都是Abel积分.
要记住,积分\(\mbox{(\ref{e2})}\)借助Euler变换 总可以划归为有理函数的积分.所以,积分\(\mbox{(\ref{e2})}\)一定能表示为初等函数.
积分\(\mbox{(\ref{e3})}\)称为二项微分式积分,也可用初等函数来表示,前提是数
\[p,\frac{m+1}{n},\frac{m+1}{n}+p\] 之中至少有一个是整数.而P.L.Chebyshev的古典定理乃是:"若三数\(p,\frac{m+1}{n},\frac{m+1}{n}+p\)都不是整数,则积分(3)不能表示为初等函数".
我们的主要目标就是要来证明这个定理.
1 关于初等函数我们把初等函数理解为独立变量\(x\)与函数\(\ln \omega_i(x),i=1,2,\cdots,k\)的代数函数,其中\(\omega_i(x)\)也是代数函数,但可以是复的.
显然.函数
\[x^m,\quad(a_1x^{m_1}+a_2x^{m_2}+\cdots+a_kx^{m_k})^p,\quad\ln{\frac{a_1x^{m_1}+a_2x^{m_2}+\cdots+a_kx^{m_k}}{b_1x^{n_1}+b_2x^{n_2}+\cdots+b_qx^{n_q}}}\]
都是初等函数,但设其中所有指数都是有理数.不过,我们可以证明,函数\[\arcsin x,\quad\arccos x,\quad\arctan x,\quad\textrm{arccot} x\]也是初等函数.实际上,从关系式
\[\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}=x\] 得出 \[\begin{aligned}
e^{it} &= ix+\sqrt{1-x^2} \\
t = \arcsin x &= -i\ln(ix+\sqrt{1-x^2})\end{aligned}\] 而从关系式
\[\tan t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{i(e^{it}+e^{-it})}=x\] 得到
\[\begin{aligned}
e^{2it} &= \frac{1+ix}{1-ix} = \frac{(1+ix)^2}{1+x^2}\\
t &= \arctan x = -\frac{i}{2}\ln\frac{(1+ix)^2}{1+x^2}.\end{aligned}\]
(从而证明了\(\arcsin x\)与\(\arctan x\)是初等函数.)显然,没有必要再去证明\(\arccos x\),\(\textrm{arccot} x\)的初等性.
我们把Abel积分写成这样的形式: \begin{equation}\label{e4}\int_a^x R(t,y(t))\mathrm{d}t.\end{equation}
同时,我们还对Abel积分作如下分类: