定理5. 在关系式
\begin{equation}\label{e14}\int_a^x R(x,y(x))\mathrm{d}x=\omega_0(x)+\sum_{r=1}^{k}a_r\ln\omega_r(x)\end{equation}
中,各个函数之间线性组合的系数
\[a_1,a_2,\cdots,a_k\]
是“有理线性无关”的,也就是说不存在\(m_1,m_2,\cdots,m_k\in\mathbb{Q}\)不全为零,使得关系
\begin{equation}\label{e15}
a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k=0\end{equation}
成立.
证明. 假如对于关系式\(\mbox{(\ref{e14})}\),仍然有线性关系\(\mbox{(\ref{e15})}\)成立,那么就可以由等式\(\mbox{(\ref{e15})}\) 得到 \begin{equation}\label{e16}
a_1=-\frac{a_2}{m_1}m_2-\frac{a_3}{m_1}m_3-\cdots--\frac{a_k}{m_1}m_k,\end{equation}
将这个关系回代于等式\(\mbox{(\ref{e14})}\)即有 \begin{equation}\label{e17}
\int_a^xR(x,y(x))\mathrm{d}x=\omega_0+\frac{a_2}{m_1}\ln\frac{\omega_2^{m_1}}{\omega_1^{m_2}}+\cdots+
\frac{a_k}{m_1}\ln\frac{\omega_k^{m_1}}{\omega_1^{m_k}}.\end{equation}
如果适当的调整记号,等式\(\mbox{(\ref{e17})}\)便具有形式
\begin{equation}\label{e18}\int_a^xR(x,y(x))\mathrm{d}x=\omega_0+b_1\ln\tilde{\omega_1}+\cdots b_{k-1}\ln\tilde{\omega}_{k-1},\end{equation}
其中\(\tilde{\omega_i}\)是代数函数,因为\(m_i\) 都是有理数.假如现在的这些系数
\[b_1,b_2,\cdots,b_{k-1}\]
之间已经不存在形如等式\(\mbox{(\ref{e15})}\)的相关性,那么就已经实现了证明.否则,可再实行有限次 如上面这样的操作,使得等式\(\mbox{(\ref{e15})}\)最终不能成立.▌
联系到之前有关于Abel积分分类的内容,我们还可以得到这样几个命题.这些命题将能够帮助我们最终证明切比雪夫的定理.
定理6. 若一个Abel积分
\[\int R(x,y(x))\mathrm{d}x\]
可表示为初等函数,即有等式\((\ref{e6})\)成立,那么每一个使得函数\(\omega_1,\cdots,\omega_k\)中至少一个函数变为\(0\)或无穷大的点\(x_0\)都是这个Abel积分的对数奇点.
证明. 设题目中的Abel积分能够表示为初等函数,重新抄录一遍等式\(\mbox{(\ref{e6})}\): \begin{equation}\label{e19}
\int_a^x R(x,y)\mathrm{d}x=\omega_0(x)+a_1\ln\omega_1(x)+\cdots+a_k\ln\omega_k(x),\end{equation}
并设\(\omega_1(x)\)在某一点\(x_0\)处变为0.不失一般性,我们设\(x_0=0\).
由于\(\omega_1(x)\)是代数函数,所以就有 \[\omega_1(x)=x^{m_1}\varphi_1(x),\mbox{其中}\varphi_1(x)\neq0(\neq\infty),\]
其中\(m_1\in\mathbb{Q}\).
完全同样,
\[\omega_i(x)=x^{m_i}\varphi_i(x),\mbox{其中}\varphi_i(x)\neq0(\neq\infty)(i> 1),\]
其中\(m_i\in\mathbb{Q}\)(它们可以部分,甚至全部等于0).同时,\(\varphi_i(x)(i=1,2,\cdots,k))\)均为代数函数.
这样,将上面的"分拆"代入到等式\(\mbox{(\ref{e19})}\)中便有
\[\int_a^x R(t,y(t))\mathrm{d}t=\omega_0(x)+(a_1m_1+\cdots+a_km_k)\ln x+\sum_{i=1}^k a_i\ln\varphi_i(x).\]
根据定理5,一定有
\[a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\neq0.\]
除此以外,我们还知道\(\omega_0(x)\)是一个代数函数,其一定没有对数奇点.由此便知,\(x_0\)是这个Abel积分的对数奇点.▌
到这里,我们可以证明两条关键的命题:
定理7. 第一类Abel积分一定不能表示为初等函数.
证明. 根据定义,第一类Abel积分总是有界的.由定理6可知,如果其能够表示为一个初等函数,那么其被初等函数表达出来的式子里必须不能含有对数项(否则将会与有界性矛盾).以上可知,第一类Abel积分如果能被初等表示出来,那么其一定是体\(k(x,y)\)的元素 .但是我们又知道,体\(k(x,y)\)中的函数除了常数函数以外都必然是无界的 ,因而这里又发生了矛盾.所以,第一类Abel积分不能被表示为初等函数.▌
定理8. 若第二类Abel积分能被表示为初等函数,则该积分一定是\(k(x,y)\)中的元素.
证明方法与前一命题完全相同,只不过最后一句话不要罢了.
5 P.L.Chebyshev定理