定理9. （\(\mathrm{Chebyshev}\)） 若三数 \[p,\frac{m+1}{n},\frac{m+1}{n}+p\]
都不是整数,则积分 \begin{equation}\label{f1}\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm{d}x\end{equation} 不能表示为初等函数.
证明. 我们注意到,积分\(\mbox{(\ref{f1})}\)可以改写为下面这样一种形式: \begin{equation}\label{f2}
\int x^{-r}(x+1)^{-s}\mathrm{d}\end{equation}\[x\]
其中\(0<r<1,0<s<1\).改写的方法是,在\(\mbox{(\ref{f1})}\)中令\(z=x^n\)便可得到 \[\begin{aligned}
\int x^m(x^n+1)^p\mathrm{d}x&=\frac{1}{n}\int z^{\frac{m+1}{n}-1}(z+1)^p\mathrm{d}z\\
&=\frac{1}{n}\int z^{-r}(z+1)^{-s}\mathrm{d}z.
\end{aligned}\] 此外我们还知道,可以通过下面的关系式 \[\begin{cases}
(-r+1)\int z^{-r}(z+1)^{-s}\mathrm{d}z=\\ \qquad\qquad z^{-r+1}(z+1)^{-s+1}+(r+s-2)\int z^{-r+1}(z+1)^{-s}\mathrm{d}z,\\
z^{-r+1}(z+1)^{-s+1}=\\ \qquad\qquad(s-1)\int z^{r-1}(z+1)^{-s}\mathrm{d}z+(2-r-s)\int z^{-r}(z+1)^{-s+1}\mathrm{d}z
\end{cases}\]
来将对应位置的\(r,s\)增大1或减小1,由此即可以通过若干次调整使得积分号下函数满足\(0<r<1,0<s<1\).
现在考察两种可能的情况.
\(r+s>1\).在此情况下,当\(x\rightarrow0\)(因为\(r<1\)),\(x\rightarrow-1\)(因为\(s<1\))以及\(x\rightarrow\infty\)(因为\(r+s>1\))
时,积分皆保持有界,因此积分\(\mbox{(\ref{f1})}\)在此条件下为第一类Abel积分.根据定理7,积分\(\mbox{(\ref{f1})}\)一定不能表示为初等函数.
\(r+s<1\).像刚才讨论过的情形一样,当\(x\rightarrow0\)与\(x\rightarrow-1\)时,积分都是有界的.注意到\(|x|<1\)时有展开式
\begin{equation}\label{f3}
\int x^{-r}(x+1)^{-s}\mathrm{d}x=\frac{1}{1-r}x^{1-r}-\frac{s}{2-r}x^{2-r}+\cdots\end{equation}
成立,而当\(|x|>1\)时也有展开式 \[\begin{aligned}
\int x^{-r}(x+1)^{-s}\mathrm{d}x&=\int x^{-r-s}(1+x^{-1})^s\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{1-r-s}x^{1-r-s}+\frac{s}{r+s}x^{-r-s}+\cdots
\end{aligned}\] 成立.因此,我们可以确信,表达式 \begin{equation}\label{f4}
x^{s+r-1}\int x^{-r}(x+1)^{-s}\mathrm{d}x\end{equation}
也保持有界.积分\(\mbox{(\ref{f2})}\)在这种情况下是第二类Abel积分 ,于是根据定理8,如果其能够被初等表示出来,则一定是一个代数函数.但是表达式\(\mbox{(\ref{f4})}\)却一定不能被表示为代数函数,因为代数函数无界而这个表达式有界.
因此可知,当条件中的三个数均不为整数时,积分\(\mbox{(\ref{f1})}\)一定不能被表示为初等函数.到此,Chebychev定理完全证明.▌
在函数论中,代数函数定义为由关于未知变量\(w,z\)的不可约方程\[a_n(z)w^n+a_{n-1}(z)w^{n-1}+\cdots+a_0(z)=0\]确定的多值函数\(w=w(z)\),其中各个\(a_i(z)\)均是关于\(z\)的多项式.仅从形式上来说,读者可以将代数函数理解为有理函数（即形如\[\frac{a_mz^m+\cdots+a_1z+a_0}{b_nz^n+\cdots+b_1z+b_0}\]的函数）和各类含根式的"有理函数"（形式上）的总和,如果读者对复变函数相关知识不了解的话.―编者注
此方法在各种数学分析习题集中均常见,网上也可查到.―编者注
关于此种情况下的积分方法也在各种数学分析习题集中常见,读者也可参考百度百科"二项微分式"词条.―编者注
参见契巴塔廖夫:《代数函数论(下册)》第八章(戴执中,夏定中译,哈尔滨工业大学出版社,2015),49页.(已将旧版本译本信息更正为新版本,下同.―编者注)
参见契巴塔廖夫:《代数函数论(上册)》第一章(戴执中,夏定中译,哈尔滨工业大学出版社,2015),9-13页.
也就是说,等式\(\mbox{(\ref{e9})}\)右边实际上没有关于\(\ln\omega_i\)的真实项,其系数一定为0,从而等式右边对\(\ln\omega_i\)求偏导后都必然为0.等式\(\mbox{(\ref{e9})}\)左边与\(\ln\omega_i\)无关,求偏导数后也为0.― 编者注
因此有\(m\leq k\).―编者注
注意这不是一个隐函数,仍然仅是一个方程.― 编者注
由于可被除尽,因而方程\(F(x,y,z)=0\)的根\(z_1,z_2,\cdots,z_m\)必为方程\(\mbox{(\ref{e12})}\)的根,由此便可得到\(\mbox{(\ref{e13})}\),而这些式子则确为恒等式.― 编者注
这里相当于是把\(\mbox{(\ref{e13})}\)确定的\(y\)关于\(x,z_r\)的关系式代入到积分式中.―编者注
即Viète定理.―编者注