定理3. （\(\mathrm{Liouville}\)）
若Abel积分
\begin{equation}\label{e5}\int_a^x R(x,y(x))\mathrm{d}x\end{equation}
可以表示为初等函数,那么一定有
\begin{equation}\label{e6}\int_a^x R(x,y(x))\mathrm{d}x=\omega_0(x)+\sum_{r=1}^{k}a_r\ln\omega_r(x),\end{equation}
其中\(\omega_0(x),\omega_1(x),\omega_2(x),\cdots,\omega_k(x)\) 为\(x\)的代数函数（此处不假定其属于体\(k(x,y)\)）, \(a_0,a_1,\cdots,a_k\)为常数.
证明. 设 \begin{equation}\label{e7}
\int_a^x R(x,y(x))\mathrm{d}x=\Phi(x,\ln\omega_1,\cdots,\ln\omega_k).\end{equation}
我们假设\(x,\ln\omega_1,\cdots,\ln\omega_k\) 这些变量间不成立形如
\begin{equation}\label{e8}
\Psi(x,\ln\omega_1,\cdots,\ln\omega_k)=0\end{equation}
的代数关系式.否则,我们可以通过删去其中的一些\(\ln\omega_i\),来使得这一条件最终成立.
现在,设以上的"非相关"条件已然成立.对等式\(\mbox{(\ref{e7})}\)求\(x\)的偏导数,即可得到
\begin{equation}\label{e9}
R(x,y(x))=\frac{\partial\Phi}{\partial x}+\frac{\partial\Phi}{\partial\ln\omega_1}\frac{\omega'_1}{\omega_1}+\cdots+\frac{\partial\Phi}{\partial\ln\omega_k}\frac{\omega'_k}{\omega_k}\end{equation}
这时可以看见,在等式\(\mbox{(\ref{e9})}\)中竟然已经成立了形如等式\(\mbox{(\ref{e8})}\)的关系,这说明等式\(\mbox{(\ref{e9})}\)一定是关于各个变量\(\ln\omega_i(i=1,\cdots,k)\)的恒等式 .所以,将等式\(\mbox{(\ref{e9})}\)对\(\ln\omega_i(i=1,\cdots,k)\)分别求导后,便可以得到
\[\begin{aligned}
0&=\frac{\partial^2\Phi}{\partial x \partial\ln\omega_i}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\ln\omega_1\partial\ln\omega_i}\frac{\omega'_1}{\omega_1}+\cdots+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\ln\omega_k\partial\ln\omega_i}\frac{\omega'_k}{\omega_k}\\
&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial\Phi}{\partial\ln\omega_i}).\quad(i=1,\cdots,k)\end{aligned}\]
这样一来,便有
\begin{equation}\label{e10}
\frac{\partial\Phi}{\partial\ln\omega_i}=a_i(=\mbox{常数})\quad(i=1,\cdots,k).\end{equation}
可以证明等式\(\mbox{(\ref{e10})}\)一定是恒等式.否则,其就将给出一个形如条件\(\mbox{(\ref{e8})}\) 的等式,而我们已经假设过这种情况不会出现.
由\(\mbox{(\ref{e10})}\)中的\(k\)个等式,即可解出\(\mbox{(\ref{e6})}\)的形式. (积分回去就可以了.)▌
此外,还有这样一个结论:
定理4. 在等式\(（\ref{e6}）\)中,函数\(\omega_0,\omega_1,\cdots,\omega_k\)一定都是有理函数体\(k(x,y)\)的函数.
证明. 这里,我们假设函数 \[\omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_k\]
中的部分或全部不属于体\(k(x,y)\),那么我们就可以把这些函数添加到体\(k(x,y)\)
中,从而构成一个有限扩张.根据定理2,这就相当于一个扩张\(k(x,y;z)\),其中的\(z\)满足体\(k(x,y)\)上的一个不可约方程
\begin{equation}\label{e11}
F(x,y;z)=0\end{equation} 而其根 \[z_1,z_2,\cdots,z_m\] 即为函数
\[\omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_k\]
中那些不在体\(k(x,y)\)内的函数.由方程\(\mbox{(\ref{e11})}\)可以解出\(y\)关于\(x,z\)的表达式 \begin{equation}\label{e12}
y=\varphi(x,z).\end{equation} 由于方程\(\mbox{(\ref{e11})}\)是不可约的,因此差\(y-\varphi(x,z)\)一定能被表达式\(F(x,y,z)\)除尽.因此便可以推出 \begin{equation}\label{e13}
y=\varphi(x,z_1)=\varphi(x,z_2)=\cdots=\varphi(x,z_m).\end{equation} 设
\[\omega_i=\psi_i(x,z),\] 那么如果记
\[\omega_{i,r}=\psi_i(x,z_r)(r=1,2,\cdots,m),\]
则根据式\(\mbox{(\ref{e13})}\)及等式
\[\int_a^x R\mathrm{d}x=\omega_0+a_1\ln\omega_1+\cdots+a_k\ln\omega_k,\]
就有等式
\[\int_a^x R\mathrm{d}x=\omega_{0,r}+a_1\ln\omega_{1,r}+\cdots+a_k\ln\omega_{k,r}(r=1,2,\cdots,m)\]
成立 .将上面的\(m\)个等式相加并取平均值,便可得到 \[\label{y1}
\int_a^xR\mathrm{d}x=\frac{1}{m}\left(\sum_{r=1}^m\omega_{0,r}+a_1\ln\prod_{r=1}^m\omega_{1,r}+\cdots+a_k\ln\prod_{r=1}^m\omega_{k,r}\right).\]
可以注意到,上面的表达式中,函数
\[\sum_{r=1}^m\omega_{0,r},\prod_{r=1}^m\omega_{1,r},\cdots,\prod_{r=1}^m\omega_{k,r}\]
都是方程式\(\mbox{(\ref{e11})}\)的根的对称函数.所以根据熟知的代数学定理 ,这些对称函数可以用方程\(\mbox{(\ref{e11})}\)的系数(\(x,y\)的有理函数)来直接有理的表示出来.
由此,便得到 \[\omega_0,\omega_1,\cdots,\omega_k\]
确实是体\(k(x,y)\)中的函数 .▌
除此以外,还可以证明关于表达式\(\mbox{(\ref{e6})}\)中各函数线性组合的系数之间的一个结果: