前言
什么是递归
递归算法通用解决思路
实战演练（从初级到高阶）
热身赛
入门题
初级题
中级题
进阶题
结语
递归是算法中一种非常重要的思想,应用也很广。
有很多数学函数是递归定义的,如大家熟悉的阶乘函数,2阶Fibonacci数列和Ackerman函数。
有的数据结构,如二叉树,广义表等,由于结构本身固有的递归特性,则它们的操作可以递归描述。
还有一类问题,虽然问题本身没有明显的递归结构，但用递归求解比迭代更为简单,如八皇后问题,Hanoi塔问题。
实际工作中也经常用到递归。小到文件遍历,树形菜单,大到Google的PageRank算法都能看到,递归也是面试官很喜欢的考点。
前言最近看了不少递归的文章,不过我发现大部分网上讲递归的文章都不太全面,主要的问题在于解题后大部分都没有给出相应的时间/空间复杂度,而时间/空间复杂度是算法的重要考量!递归算法的时间复杂度普遍比较难(需要用到归纳法等)。换句话说,如果能解决递归的算法复杂度,其他算法题题的时间复杂度也基本不在话下。另外,递归算法的时间复杂度不少是不能接受的,如果发现算出的时间复杂度过大,则需要转换思路,看下是否有更好的解法,这才是根本目的,不要为了递归而递归！
本文试图从以下几个方面来讲解递归:
什么是递归？
递归算法通用解决思路
实战演练（从初级到高阶）
力争让大家对递归的认知能上一个新台阶,特别会对递归的精华:时间复杂度作详细剖析，会给大家总结一套很通用的求解递归时间复杂度的套路，相信你看完肯定会有收获。
什么是递归一个直接调用自己或者通过一系列的调用语句间接地调用自己的函数,称作递归函数。递归是程序设计一个强有力的工具。
以阶乘函数为例,如下,在 factorial 函数中存在着 factorial(n - 1) 的调用，所以此函数是递归函数
public int factorial(int n) { if (n < =1) { return 1; } return n * factorial(n - 1) }进一步剖析「递归」，先有「递」再有「归」，「递」的意思是将问题拆解成子问题来解决， 子问题再拆解成子子问题，...，直到被拆解的子问题无需再拆分成更细的子问题（即可以求解），「归」是说最小的子问题解决了，那么它的上一层子问题也就解决了，上一层的子问题解决了，上上层子问题自然也就解决了,....,直到最开始的问题解决,文字说可能有点抽象，那我们就以阶层f(6)为例来看下它的「递」和「归」。是不是有点微积分的思想,哈哈...
求解问题f(6),由于f(6)=nf(5),所以f(6)需要拆解成f(5)子问题进行求解,同理f(5)= n f(4)
,也需要进一步拆分,... ,直到 f(1), 这是「递」，f(1) 解决了，由于 f(2) = 2 f(1) = 2 也解决了,.... f(n)到最后也解决了，这是「归」，所以递归的本质是能把问题拆分成具有相同解决思路的子问题...直到最后被拆解的子问题再也不能拆分，解决了最小粒度可求解的子问题后，在「归」的过程中自然顺其自然地解决了最开始的问题。
我们在上一节仔细剖析了什么是递归,可以发现递归有以下两个特点
一个问题可以分解成具有相同解决思路的子问题,子子问题,换句话说这些问题都能调用同一个函数
经过层层分解的子问题最后一定是有一个不能再分解的固定值的(即终止条件),如果没有的话,就无穷无尽地分解子问题了,问题显然是无解的
所以解递归题的关键在于我们首先需要根据以上递归的两个特点判断题目是否可以用递归来解。
经过判断可以用递归后，接下来我们就来看看用递归解题的基本套路(四步曲):
先定义一个函数，明确这个函数的功能，由于递归的特点是问题和子问题都会调用函数自身，所以这个函数的功能一旦确定了， 之后只要找寻问题与子问题的递归关系即可
接下来寻找问题与子问题间的关系（即递推公式），这样由于问题与子问题具有相同解决思路，只要子问题调用步骤 1 定义好的函数，问题即可解决。所谓的关系最好能用一个公式表示出来，比如 f(n) = n * f(n-1) 这样，如果暂时无法得出明确的公式，用伪代码表示也是可以的, 发现递推关系后，要寻找最终不可再分解的子问题的解，即（临界条件），确保子问题不会无限分解下去。由于第一步我们已经定义了这个函数的功能，所以当问题拆分成子问题时，子问题可以调用步骤 1 定义的函数，符合递归的条件（函数里调用自身）
将第二步的递推公式用代码表示出来补充到步骤 1 定义的函数中