我们通过一个非常实用的例子——图像的去噪——来结束本章。图像去噪是在去除图像噪声的同时，尽可能地保留图像细节和结构的处理技术。我们这里使用 ROF（Rudin-Osher-Fatemi）去噪模型。该模型最早出现在文献 [28] 中。图像去噪对于很多应用来说都非常重要；这些应用范围很广，小到让你的假期照片看起来更漂亮，大到提高卫星图像的质量。ROF 模型具有很好的性质：使处理后的图像更平滑，同时保持图像边缘和结构信息。
ROF 模型的数学基础和处理技巧非常高深，不在本书讲述范围之内。在讲述如何基于 Chambolle 提出的算法 [5] 实现 ROF 求解器之前，本书首先简要介绍一下 ROF 模型。
一幅（灰度）图像 I 的全变差（Total Variation，TV）定义为梯度范数之和。在连续表示的情况下，全变差表示为：
在离散表示的情况下，全变差表示为：
其中，上面的式子是在所有图像坐标 x=[x, y] 上取和。
在 Chambolle 提出的 ROF 模型里，目标函数为寻找降噪后的图像 U，使下式最小：
其中范数 ||I-U|| 是去噪后图像 U 和原始图像 I 差异的度量。也就是说，本质上该模型使去噪后的图像像素值“平坦”变化，但是在图像区域的边缘上，允许去噪后的图像像素值“跳跃”变化。
按照论文 [5] 中的算法，我们可以按照下面的代码实现 ROF 模型去噪：
from numpy import * def denoise(im,U_init,tolerance=0.1,tau=0.125,tv_weight=100): """ 使用A. Chambolle（2005）在公式（11）中的计算步骤实现Rudin-Osher-Fatemi（ROF）去噪模型 输入：含有噪声的输入图像（灰度图像）、U 的初始值、TV 正则项权值、步长、停业条件 输出：去噪和去除纹理后的图像、纹理残留""" m,n = im.shape # 噪声图像的大小 # 初始化 U = U_init Px = im # 对偶域的x 分量 Py = im # 对偶域的y 分量 error = 1 while (error > tolerance): Uold = U # 原始变量的梯度 GradUx = roll(U,-1,axis=1)-U # 变量U 梯度的x 分量 GradUy = roll(U,-1,axis=0)-U # 变量U 梯度的y 分量 # 更新对偶变量 PxNew = Px + (tau/tv_weight)*GradUx PyNew = Py + (tau/tv_weight)*GradUy NormNew = maximum(1,sqrt(PxNew**2+PyNew**2)) Px = PxNew/NormNew # 更新x 分量（对偶） Py = PyNew/NormNew # 更新y 分量（对偶） # 更新原始变量 RxPx = roll(Px,1,axis=1) # 对x 分量进行向右x 轴平移 RyPy = roll(Py,1,axis=0) # 对y 分量进行向右y 轴平移 DivP = (Px-RxPx)+(Py-RyPy) # 对偶域的散度 U = im + tv_weight*DivP # 更新原始变量 # 更新误差 error = linalg.norm(U-Uold)/sqrt(n*m); return