叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为（x3,y3,z3）。向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。大小为：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) $
其向量坐标表示为:
$\overrightarrow{c} = (x,y,z) = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)$
向量叉积的模等于这两个向量组成的平行四边形的面积
根据这个叉乘的几何意义可以明显看到: $\vec{u}\times \vec{u} = 0$ ,因为向量和他自身围成的平行四边形面积为0
向量的方向余弦已知$M_0(x_0,y_0,z_0)$为平面上的一点，向量$\vec{n}(A,B,C)$为其平面的一个法向量，则由于该平面上的任意一点$M(x,y,z)$和$M_0$组成的向量和法向量垂直，因此其点积必须为0
得到点法式方程:
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$$
平面的截矩式方程$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$
其中a,b,c为平面在x,y,z轴的截矩
平面的一般式方程$$Ax+By+Cz+D= 0$$
其中$\vec{(A,B,C)}$构成直线的法向量
平面的三点式方程根据向量混合积的几何意义可以推导出三点式方程
直线的参数式方程经过一点$(x_0,y_0,z_0)$并且平行于$\vec{l,m,n}$的直线参数方程：
$$\left\{\begin{matrix}x = x_0+ tV_x\\ y = y_0 +tV_y\\ z = z_0 + tV_z \end{matrix}\right.$$
直线的标准方程(对称式方程)
将参数式方程中的t消去，即可得到:
$$\frac{x-x_0}{V_x} = \frac{y-y_0}{V_y} = \frac{z-z_0}{V_z}$$
其中$\vec{V_x,V_y,V_z}$被称为直线的方向向量
方向角和距离的计算 距离点点距离:$d = |M_1M_2| = |\vec{M_1M_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
点面距离:$P_0(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D = 0$的距离
$$d = |\vec{Prj_n\vec{P_1P_0}}| = \frac{|n \cdot \vec{P_1P_0}|}{|n|}=\frac{A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
点线距离:
称数域F上的n元有序数组为F上的n纬向量，一般写作行向量或者列向量
2,3纬的几何向量的加法和数乘运算也适合于n纬数域向量，也类似于矩阵的运算。
$$\alpha = \begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ ...\\ \alpha_n\end{pmatrix} \alpha \in R^n$$
线性相关如果存在$\alpha和\beta$满足以下
$$\beta = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+..+k_m\alpha_m, \alpha_i \in F^n, k_i \in F$$
则称$\beta$是$\alpha_1,\alpha_m$的线性组合.(数乘及向量加法)。
$\beta$可以由$\alpha_1,\alpha_m$线性表示
$\beta,\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m$是线性相关的。
否则，如果不存在非0的系数组使得$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+..+k_m\alpha_m+ k_r\beta = 0, \alpha_i \in F^n, k_i \in F$$,这些向量就是线性无关的
线性相关判定设m个n纬列向量$\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m, \alpha_i \in R^n$, 则他们线性相关的充分必要条件是由这些列向量组成的矩阵A的秩小于向量的个数m
$R(A)< m$
等价于$AX=0$有非零解
$\beta 可由\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m$线性表示 等价于 $AX = b$有解 等价于$R(A) = R(\bar A)$(A的秩等于A的增广矩阵的秩)
所谓增广矩阵，就是包括系数矩阵和常数列形成的矩阵。$\bar A = (A|b)$
向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于向量组所包含的向量个数
推论：向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关
向量组之间的线性表出矩阵：设向量组$b_1,b_2,...,b_s$可以由$a_1,a_2,..,a_r$线性表出，也就是一下方程
$$b_1 = k_{11}a_1+k_{21}a_2+...+k_{r1}a_r$$
$$b_2 = k_{12}a_1+k_{22}a_2+...+k_{r2}a_r$$
$$b_s = k_{1s}a_1+k_{2s}a_2+...+k_{rs}a_r$$
则