解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，把空间的几何结构系统地代数化，数量化
向量的定义一个有长度和方向的矢量，和标量(scalar)相对应
向量的大小（有向线段的长度）称为向量的模 $|\vec{a}|$
长度为1的向量称为单位向量
向量的平行(共线)，共面和垂直向量共线平行的充分必要条件是：存在一个标量$ \lambda $ 使得以下成立: $$\vec{a} = \lambda \vec{b}$$
向量共面的充分必要条件是：a,b,c之间存在线性变换关系使得以下成立：$$\vec{c} = \lambda \vec{b}+ \eta \vec{a}$$
向量垂直的充分必要条件是：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
向量的线性运算加法：三角形法则，平行四边形法则,多边形法则(多个向量尾首相连，最终A的起点到Z的终点连接起来即为所有这些向量的和)
减法
数乘：只改变向量长度，方向一致或相反（随这个数据正负而定）
向量加减法几何示意图把空间中所有的向量的尾部都拉到坐标原点，这样N维点空间可以与N维向量空间建立一一对应关系：N维点空间中点(0，0，0…0)取作原点，那么每一个点都可以让一个向量和它对应，这个向量就是从坐标原点出发到这个点为止的向量。
向量在轴上的投影$C\'和D‘$分别称为点$C,D$在轴u上的投影，向量$\vec{CD}$在轴u上的投影为C,D两点在u轴上的投影点$C\',D\'$组成的有向线段$\vec{C\'D\'}$的值，其绝对值等于向量$|\vec{C\'D\'}|$，其正负的符号由$\vec{C\'D\'}$的方向决定，当$\vec{C\'D\'}和u$轴同方向时值为正，反方向时值为负。记为$Prj_u\vec{CD}$
向量$\vec{CD}$在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:
$$Prj_u\vec{CD}=|\vec{CD}|cos(\varphi )$$
性质定理:n个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.
$$Prj_u(a_1+a_2+..+a_n) = Prj_ua_1+Prj_ua_2+...+Prj_ua_n$$
向量的内积(数量积，点乘)和外积内积:两个向量的内积或者叫点乘结果是一个标量，其值等于a,b的模乘以其夹角的cos值。
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=|\vec{b}|Prj_b\vec{a} = |\vec{a}| Prj_a\vec{b}$
如果使用平面直角坐标系来表示，则可以根据点乘的性质推导出来点乘结果等于坐标分别相乘后相加，这一点非常重要，实际上指明了点乘几何意义和代数算式之间的关联方式。
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}= x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
特别地，$$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt {a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}$$
$$|\vec{AB}| = \sqrt{\vec{AB} \cdot \vec{AB}} = \sqrt {(A_x-B_x)^{2}+(A_y-B_y)^{2}+(A_z-B_z)^{2}}$$
内积的性质$$a \cdot b = b \cdot a, (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c, (ka) \cdot b = k (a \cdot b), a \cdot (kb+lc) = k(a \cdot b) + l(a \cdot c)$$
向量内积的几何意义$\vec{u} \cdot \vec{v}$ 在几何上就是向量$\vec(u)$向向量$\vec{v}$做投影后再乘以$\vec{v}$的长度,就是一个向量在另一个向量上的投影d的积，也就是同方向的积
实际上上面向量内积几何意义反过来可以用来计算投影d: $ d = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} $
对于起始于原点(0,0)的单点向量$\vec{OA}$，其计算公式为:
$$|\vec{a}| = |\vec{OA}| = \sqrt{ \vec{a} \cdot \vec{a} } = \sqrt{x_A^{2}+y_A^{2}+...+z_A^{2}}$$
对于由空间两点A和B组成的向量，则需要先做对应坐标相减，再按照起始于原点的向量模计算公式来计算
$$|\vec{AB}| = \sqrt {\vec{AB} \cdot \vec{AB}} = |\vec{OA} - \vec{OB}| = |\vec{OC}| = \sqrt{(x_a-x_b)^{2}+(y_a-y_b)^{2}+...+(z_a-z_b)^{2}}$$
其中$C$点的坐标为$(x_A-x_B,y_A-y_B,z_A-z_B)$ (也可以简单地说$\vec{AB}$的坐标)，也就是说向量$\vec{c} = \vec{OC}$ 是由自由变量$\vec{AB}$变换为经过欧式空间原点的单点向量$\vec{c}$，这样就好计算其模了
$$|k \vec{a}| = |k| |\vec{a}|$$
三角不等式
$$||\vec{a}| - |\vec{b}| |\leqslant | \vec{a} - \vec{b} |\leqslant | \vec{a}|+|\vec{b}|$$
$$||\vec{a}| - |\vec{b}| |\leqslant | \vec{a} + \vec{b} |\leqslant | \vec{a}|+|\vec{b}|$$
柯西-施瓦茨不等式
$$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|$$
向量的夹角$$\theta = arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{a}||\vec{b}|}$$
向量正交如果向量a和b垂直，那么a和b的内积为0，这时称两个向量a,b是正交的。
向量的叉乘(外积，向量积)