$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} &a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}= a_{i1}A_{i1}+ a_{i2}A_{i2}+...a_{in}A_{in}$$
$$a_{i1}A_{k1}+ a_{i2}A_{k2}+...a_{in}A_{kn} = 0, i\neq k$$
如果下面的线性方程组有非零解，则系数行列式必为0，
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1 +& a_{12}x_2+ & a_{1n}x_n & = 0\\ a_{21}x_1 +& a_{22}x_2+ & a_{2n}x_n & = 0\\ a_{n1}x_1 +& a_{n2}x_2 + & a_{nn}x_n& = 0 \end{matrix}\right.$$
则
$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{nn} \end{vmatrix}=0$$
矩阵 矩阵的线性运算:加减+数乘组成了线性运算
矩阵的乘法:$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & .. & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2}& .. & a_{mn}\end{pmatrix}_{mXn}$$
$$B = \begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & .. & b_{1p}\\ b_{21} & b_{22} & .. & b_{2p} \\ b_{n1} & b_{n2}& .. & b_{np}\end{pmatrix}_{nXp}$$
则$$C = AB = \begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & .. & c_{1p}\\ c_{21} & c_{22} & .. & c_{2p} \\ c_{m1} & c_{m2}& .. & c_{mp}\end{pmatrix}_{mXp}$$
需要注意的是：矩阵满足乘法的条件是A的列数=B的行数, A的行数决定乘积的行数，B的列数决定乘积的列数,A的列和B的行好像抵消掉了一样。
$$c_{ij} = \sum_{x=1}^{n}a_{ix}b_{xj}$$
矩阵乘法不同观点考察:行观点 .vs. 列观点 .vs. 点积观点行观点:
行观点常见的应用场景为：行向量 X 矩阵 = 行向量 ;$XA=Y$,行观点表达的是矩阵中每个行向量的线性组合。此时矩阵出现在右侧，我们称为右乘。可以将左面的X推广到多个行组成的矩阵形成矩阵乘法
列观点：
列观点常见的应用场景是：矩阵 X 列向量 = 列向量; $AX = Y$.列观点要表达的是矩阵中每个列向量的线性组合。此时矩阵出现在左侧，我们称为左乘，可以将右面的X推广到多列形成矩阵的乘法
点积观点
常见的应用场景为:行向量 X 列向量 = 标量，常用于矩阵乘法的代数运算。
$c_{ij} = A_iB_j$
结果矩阵$C$中的第i行第j列元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量点积
矩阵乘法的应用:
以下线性方程组
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+ & .. & a_{1n}x_n &=b_1 \\ a_{m1}x_1+ & .. & a_{mn}x_n &=b_m\end{matrix}\right.$$
可以写成矩阵乘法的形式:$AX = \beta $
其中$A$为系数矩阵,$\beta$为常数向量$X$为自变量向量
线性变换的叠加:设$$\left\{\begin{matrix}x_1 = a_{11}y_1+a_{12}y_2+..+a_{1n}y_n\\ x_n = a_{n1}y_1+a_{n2}y_2+..+a_{nn}y_n\end{matrix}\right.$$
$X=AY$
而
$$\left\{\begin{matrix}y_1 = b_{11}z_1+b_{12}z_2+..+b_{1n}z_n\\ y_n = b_{n1}z_1+b_{n2}z_2+..+b_{nn}z_n\end{matrix}\right.$$
$Y=BZ$
则$X$和$Z$之间的关系可以这样表达:
$$X=A(BZ)=(AB)Z$$
也就是说$X,Z$之间的关系可以用矩阵$AB$来表达
方阵行列式的乘法公式:
$$|AB| = |A| |B|$$
行列式的值等于特征值的乘积 $|A| = \prod \lambda _i$
推论:
$$|AB| = |BA| = |A| |B|$$
$|A\'B| = |AB|$ $|A^{-1}BA| = |B|$
$|kA|=k^{n}|A|$
转置矩阵:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} &.. a_{1n} \\ a_{m1} &.. a_{mn}\end{pmatrix} mXn$$
$$A^{T}=A\' = \begin{pmatrix}a_{11} &.. a_{m1} \\ a_{1n} &.. a_{mn}\end{pmatrix} a_{ij} = a\'_{ji} 为 nXm$$
转置矩阵的性质：
$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$
$|A^T| = |A|$