在$V->W$线性变换矩阵A的作用下，在V中向量基底B下的坐标，经过线性变换后，在W中基底$B^\'$上的坐标计算方法:
再给一个形象的图:
把每一个
https://www.zhihu.com/question/22218306
定理:
设$\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n;及\beta_1,\beta_2,..,\beta_n$是线性空间$V$的两组基，$P$是$\alpha到\beta$的过度矩阵,一个线性变换,矩阵$A,B$分别是线性变换$L$针对$\alpha,\beta$两组基下的矩阵，也就是说$L$作用到两组基低向量组后对应的为基低乘以矩阵$A和B$：$L(\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n) = (\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n)A;L(\beta_1,\beta_2,..,\beta_n)=(\beta_1,\beta_2,..,\beta_n)B$则$A,B$必然是相似矩阵，相似变换P就是这里的过度矩阵$P^{-1}AP=B$。
行列式看下面的线性方程组:
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1 & +a_{12}x_2 & = b_1\\ a_{21}x_1 & +a_{22}x_2 & = b_2 \end{matrix}\right.$$
其解和行列式有关，定义:
$D = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$,
$D_1 = \begin{vmatrix}b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22}\end{vmatrix}=b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}$,
$D_2 = \begin{vmatrix}a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2}\end{vmatrix}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}$
则
当$D\neq 0$时，方程组有唯一解，其解为：$$x_1 = \frac{D_1}{D} , x_2 = \frac{D_2}{D} , $$
推广出去就是cramer法则:
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1 +& a_{12}x_2+ & a_{1n}x_n & = b_1\\ a_{21}x_1 +& a_{22}x_2+ & a_{2n}x_n & = b_2\\ a_{n1}x_1 +& a_{n2}x_2 + & a_{nn}x_n& = b_n \end{matrix}\right.$$
如果系数行列式不等于0，则有唯一解，其解为对应替换常数后的行列式的值除以原系数行列式的值
行列式的几何意义行列式是一个scalar标量数值，可以看作对应线性变换将$\vec{i}, \vec{j}$组成的正方形(对三维空间则是立方体)拉升或者收缩线性空间后，该正方形(正方体)面积(体积)放大或者缩小的倍数比例。
一个数的排列对所有元素如果不是从小到大的顺序排列我们就说产生了一个逆序，对所有元素分别数出其前面产生的逆序数加起来就是这个排列的逆序。
$\tau (P_1,P_2,...P_n) $
比如:$\tau (3,1,2) = 0 + 1+ 1 =2 $ 我们称为偶排列
而$\tau (1,3,2) = 1$则称之为奇排列
逆序有如下的性质：
任意调换两元素，则改变全排列的奇偶性
n阶行列式的一般定义:$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} &_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{P_1P_2...P_n}(-1)^{\tau (P_1P_2...P_n)}a_{1P_1}a_{2P_2}...a_{nP_n}$$
其计算有以下特点:
其定义为所有不同行不同列元素乘积并取逆序相关对应符号后相加
共有$n!$项数据
每一项符号按照以下规则：行下表自然排列后，看列下标
对应排列的逆序奇偶性，偶排列取正，奇排列取负。或者列下表自然排列后，就看行下标对应排列的逆序奇偶性决定
根据行列式的代数定义式，可知:
三角行列式的值为所有对角线上元素的乘积
对角行列式的值为对角线上元素的乘积
行列式的性质:
$D\' = D$ ,关于列的性质关于行也一定是成立的。
换行行列式的值变号，换列行列式的值变号
若某两行相同或者两列相同，行列式的值必为0，因为$D=-D$,所以$D=0$
行或列的公因子可以提出到行列式
某两行或者某两列成比例，行列式的值比为0
行（列）两项和可拆开
消法变换（某一行、列乘以一个数加到另一行、列）不改变行列式的值
行列式按照某行或列展开
余子式
$M_{ij}$表示去掉该元素所在行所在列剩下的原始元素降阶形成的新行列式我们称为余子式
代数余子式
代数余子式为余子式加上对应的符号
$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$