任何一个矩阵通过初等行变换（相当于矩阵左乘)和列变换（相当于矩阵右乘）都能变换成标准型$\begin{pmatrix}E_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$，也称称为等价标准型
初等行变换不改变列向量组的线性相关性；初等列变换不改变行向量组的线性相关性
等价矩阵如果矩阵A经过初等行列变换(分别对应矩阵的左乘和右乘)能成为B，则称A和B等价,也就是说存在两个可逆矩阵$P,Q$使得以下式子成立: $PAQ = B$，则称$A,B$等价。P和Q分别对应着一系列行变换(左乘)和列变换(右乘)的累积效应
相似矩阵设$A,B$都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$,使得$P^{-1}AP=B$,则称$A,B$相似，记为$A \sim B$
相似的性质:
1. 反身性: $A \sim A$
2. 对称性: $A \sim B \Rightarrow B \sim A$
3. 传递性: $A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C$
注意：相似矩阵的条件强于等价矩阵。相似的矩阵一定等价，等价的矩阵却不一定相似
相似矩阵的性质相似矩阵必有相同的特征值
矩阵的秩子阵，子方阵为矩阵
子式为对应子方阵的行列式，
非零子式为子方阵行列式不为0情况下的值及对应的子方阵
矩阵A的所有非零子式的最高阶数被成为矩阵A的秩$R(A),r(A),rank(A)$
比如$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 4 & 4\end{pmatrix}$$的秩为1
秩的性质:对$mXn$阶的矩阵$A$，其秩有以下性质:
$0\leq R(A) \leq min (m,n)$
$R(A\')=R(A)$
$R(kA)=R(A)$
$R(AB) \leq min \{R(A),R(B)\}$ 非常重要，矩阵相乘之后，秩不会大于最小秩矩阵的秩
矩阵经过初等变换不改变矩阵的秩
矩阵的行秩等于列秩
初等矩阵对单位矩阵经过一次初等变换(换法，倍法，消法)得到的矩阵为初等矩阵
初等矩阵都是可逆矩阵
初等矩阵求解逆矩阵比较方便
一次行变换可以用在矩阵左边乘以一个初等矩阵来刻画，一次列变换可以用在矩阵右边乘以一个初等矩阵来刻画
定理：
$A$矩阵可逆的充分必要条件是存在有限的初等矩阵$P_1,P_2,..,P_s$使得$A=P_1P_2..P_s$
可逆矩阵必然可以通过初等变换化为单位阵
A经过行变换生成B的充分必要条件是:存在一个可逆矩阵P，使得PA = B
A经过列变换生成B的充分必要条件是:存在一个可逆矩阵Q，使得AQ = B
A经过初等(行、列)变换生成B的充分必要条件是:存在两个可逆矩阵P，Q使得PAQ = B
可逆矩阵左乘或右乘不改变矩阵的秩
设A为mxn的矩阵$R(A) =r$,则存在可逆阵P,Q，使得$PAQ=\begin{pmatrix}E_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$
矩阵特征值重要性质:针对一个矩阵增加一个 delta*I的单位对角矩阵，其新的特征值则全部变更为+delta