1. $\alpha = x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+..+x_m\alpha_m$中的系数可以通过以下内积计算$x_i = \vec{\alpha} \cdot \vec{\alpha_i}$求得，也就是说：任意向量使用另外的规范正交基表示时，其坐标（表示系数）可用该向量分别与基底做点积获得
2.任意两个用规范正交基表示的坐标向量$\alpha = (x_1,x_2,..,x_m)\begin{pmatrix}\alpha_1\\ ..\\ \alpha_m \end{pmatrix},\beta = (y_1,y_2,..,y_m)\begin{pmatrix}\alpha_1\\ ..\\ \alpha_m \end{pmatrix}$，其内积计算就等于相应系数相乘之和
$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = x_1y_1+x_2y_2+..+x_my_m$$
施密特正交化求解规范化正交基思路：给定线性无关的向量组$\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m$,令$\beta_1=\alpha_1, \beta_2 = \alpha_2 - \frac{\alpha_2 \cdot \beta_1}{\beta_1 \cdot \beta_1}\beta_1, \beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 $..
减去前面向量方向的分量即可得到。。
规范化，则使用$\gamma_1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|} $...即可
(规范)正交矩阵若 $A^TA=AA^T=E_n$则$A$就是正交矩阵，也就是说如果一个矩阵他的逆矩阵等于其转置矩阵，则该矩阵被称为正交矩阵
比如:$$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta\end{pmatrix}$$
标准正交基到标准正交基的过度矩阵也为正交矩阵
正交矩阵的重要性质：如果$A$为正交矩阵，则$AX \cdot AY = X \cdot Y$,也就是说正交矩阵去乘两个列向量，保持其内积不变。这个性质说明用正交矩阵去乘会保留所有内积的性质。
正交矩阵保持内积不动，保持长度不动，保持夹角不动:
$|AX|=|X|, AX和AY的夹角和X与Y的夹角相等$
1.$A^{-1} = A^T$
2.$|A| = 1, or |A| = -1$
3.两个正交矩阵的乘积依然是正交矩阵
正交矩阵的判定定理:$A=(\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n) \in R^{n \times n}$是正交矩阵的充分必要条件是:$\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n$是$R^n$的规范正交基
$R^n$的规范正交基到规范正交基的过度矩阵必然是正交矩阵
正交矩阵是规范正交基到规范正交基的过度矩阵
共轭矩阵设$A=(a_{ij})_{m\times n}$ 为复数域上的矩阵，则$\bar A = (\bar a_{ij})_{m \times n}$称为$A$的共轭矩阵
矩阵的特征值和特征向量及其几何意义设A是n阶方阵，如果$AX = \lambda X, X \neq 0$，则称$\lambda$是矩阵A的一个特征值， $X$是矩阵$A$的属于特征值$\lambda$的一个特征向量.
注意： $X$只与一个$\lambda$对应,如果$\lambda$确定，却可能有无数多个特征向量，这些特征向量组成特征空间。
特征值和特征向量的计算
特征方程:
$$|\lambda E -A| =0$$
求解上面的方程即可解得特征值$\lambda$.对于n阶方阵，其特征方程将为n次的。
如果n > 5将不再有解析解，只能通过计算机数值算法逼近，后面讨论。
n阶矩阵A的特征方程的两种表达方法:
$$|\lambda E -A| =\begin{vmatrix}\lambda-a_{11} & -a_{12} & .. & -a_{1,n-1} & -a_{1n}\\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & .. & -a_{2,n-1} & -a_{2n}\\ -a_{n-1,1} & -a_{n-1,2} &.. & \lambda-a_{n-1,n-1} & -a_{n-1,n} \\ -a_{n1} & -a_{n,2} & .. & -a_{n,n-1} & \lambda-a_{nn}\end{vmatrix}=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)..(\lambda-\lambda_n)$$
特征向量的求解:
$$(\lambda E -A)X = 0$$
上述方程的所有解称为矩阵A的$\lambda$的特征子空间$(\lambda_0E -A)$
特征向量在人脸识别中的应用,强力推荐阅读:
https://blog.csdn.net/smartempire/article/details/21406005
特征值的性质：