近年来，随着人们对图像压缩、边缘和特征检测以及纹理分析的需求的提高，一种新的变换（称为小波变换）悄然出现。傅立叶变换一直是变换域图像处理的基石，它能用正弦与余弦函数之和表示任何分析函数，而小波变换则基于一些有限宽度的基小波，这些小波不仅在频率上是变化的，而且具有有限的持续时间。比如对于一张乐谱，小波变换不仅能提供要演奏的音符，而且说明了何时演奏等细节信息，但是傅里叶变换只提供了音符，局部信息在变换中丢失。
多分辨率分析多分辨率理论是一种全新而有效的信号处理与分析方法。正如其名字所表达的，多分辨率理论与多种分辨率下的信号（或图像）表示和分析有关。其优势很明显，某种分辨率下无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。本节将从多分辨率的角度来审视小波变换，主要内容将集中在简单介绍多分辨率的相关概念和信号（或图像）的分解与重构算法。
多分辨率框架多分辨率分析又称为多尺度分析，是小波分析中的重要部分，它将多种学科的技术有效地统一在一起，如信号处理的子带编码、数字语音识别的积分镜像过滤以及金字塔图像处理。多分辨率分析的作用是将信号分解成不同空间的部分，另外，它也提供了一种构造小波的统一框架。在观察图像时，对于不同大小的物体，往往采用不同的分辨率，若物体不仅尺寸有大有小，而且对比有强有弱，则采用多分辨率进行分析就凸显出一定的优势。
比如，地图通常以不同尺度描得，一幅地图的尺度是地域实际大小与它在地图上的表示的比值。在地球仪上，大陆和海洋等主要特征是可见的，而像城市街道这样的细节信息就很难辨识了；而在较小的尺度上，细节变得可见而较大特征却不见了。因此，为了能够从当地导引到一个较远距离处的地点，就需要一套用不同尺度绘制的地图。例如在中国地图上无法看到详细的北京的街道，而在分辨率较高的北京地图上，就能真切地看到北京的各个街道。这就是小波多分辨率的优越性的体现。
小波变换正是沿着多分辨率这条线发展起来的。与时域分析一样，一个信号用一个二维空间表示，不过这里的纵轴是尺度而不是频率。根据时频域分析，一个信号的每个瞬态分量映射到时间-频率平面上的位置对应于分量主要频率和发生的时间。
考虑如图7.3所示的乐谱，它可以看作一个描绘了二维的时频空间。频率（音高）从层次的底部向上增加，而时间（以节拍来测度）则向右发展。乐章中每一个音符对应于一个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量（音调猝发）。每一个小波的持续宽度都由音符的类型来编码，而不是由它的水平延伸来编码。假设要分析一次音乐演出的记录，并写出相应的乐谱，这个过程可以说是小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音可看作是一种小波逆变换，因为它是用时频来重构信号的。
1988年，Mallat提出了多分辨率分析的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性。在介绍多分辨率分析之前，先来了解一下关于小波变换的一些基本概念，这对于理解多分辨率分析有重要作用。
TODO.
所谓基，就是由函数序列组成的空间。
批注：就是坐标系吧。
更多信息参考链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818
在理解多分辨率分析时，需要把握一个要点：分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近的L2 (R )空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。另外，多分辨率分析只对低频空间做进一步分解，使频率的分辨率越来越高。
图像处理中分解与重构的实现前面讲述了一维信号的多分辨率分解与合成算法，对于二维的图像信号，可以从滤波器的角度来理解多分辨率分析。首先对图像先“逐行”做一维小波变换，分解为低通滤波L 和高通滤波H 两个分量，再“逐列”做一维小波变换，分解为LL 、LH 、HL 、HH 四个分量。L 和H 分别表示低通和高通滤波输出。
Gabor多分辨率分析