图卷积网络入门(GCN) (3)

其中，

表示函数

在网络图中节点 i 处的函数值，类比

为函数

在 (x,y) 的函数值。

在网络图中，两个节点的之间的增益为

，考虑加权图则有

，那么对于节点 i 来说，总增益即为拉普拉斯算子在节点 i 的值：

其中，

为节点 i 的度；上式第二行去掉了

是因为

可以控制节点 i 的邻接矩阵。

对于任意

都成立，所以我们有：

自此，我们便给出了图拉普拉斯矩阵的推导过程，这个公式的全称为：图拉普拉斯算子作用在由图节点信息构成的向量

上得到的结果等于图拉普拉斯矩阵和向量

的点积。拉普拉斯矩阵反映了当前节点对周围节点产生扰动时所产生的累积增益，直观上也可以理解为某一节点的权值变为其相邻节点权值的期望影响，形象一点就是拉普拉斯矩阵可以刻画局部的平滑度。

2.2 图拉普拉斯矩阵

图拉普拉斯矩阵可以定义为：