图卷积网络入门(GCN) (4)

其中，D 为度矩阵，W 为邻接矩阵（对于有权图，W为有权邻接矩阵）。

考虑归一化后的拉普拉斯矩阵：

2.3 拉普拉斯矩阵的谱分解

首先来看看什么是谱分解：维基百科：特征分解

拉普拉斯矩阵的谱分解就是矩阵的特征分解：

对于无向图来说，拉普拉斯矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以用正交矩阵进行正交相似对角化：

其中，

为特征值构成「对角矩阵」，

为特征向量构成的「正交矩阵」。

又因为正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置：

，所以我们有：

因为 L 是半正定矩阵，我们还可以有：

其中，

为节点 i 的信号。我们称

为图信号的总变差（Total Variation），可以刻画图信号整体的平滑度。

拉普拉斯的谱分解具有以下几点性质：

由于拉普拉斯矩阵以每行（列）元素之和为零，因此拉普拉斯矩阵的至少有一个特征值为 0，对应的特征向量

，且满足：

。

拉普拉斯矩阵的特征值都大于等于零，归一化的拉普拉斯矩阵的特征值区间为 [0, 2]；

如果有 n 个特征值为 0，则表示图有 n 个子图相互无连接；

特征值的总和为矩阵的迹，对于归一化的拉普拉斯矩阵，如果没有孤立节点或子图，其特征值为 N。

2.4 傅立叶变换

傅立叶变换分为傅立叶级数和连续傅立叶变换，我们先说傅立叶级数。

傅立叶级数适用于周期性函数，它能够将任何周期性函数分解成简单震荡函数的集合（正弦函数和余弦函数），举个例子，比如说下图：